Considere o operador \hat{D}|f\rangle \equiv\left|\frac{d f}{d x}\right\rangle, onde f é uma função \langle x \mid f\rangle=f(x). Encontre o elemento de matriz \langle x| \hat{D}\left|x^{\prime}\right\rangle.
Passo 1
O enunciado pede o elemento de matriz na base |x\rangle do operador de derivação \hat D definido por
onde \langle x\mid f\rangle = f(x). Vamos usar a resolução da identidade na base \lvert x\rangle e comparar a ação de \hat D sobre um estado genérico \lvert f\rangle.
Passo 2
Inserindo a identidade \displaystyle \mathbb{I}=\int dx'\,\lvert x'\rangle\langle x'\rvert entre \hat D e \lvert f\rangle, temos