Considere o operador \hat{D}|f\rangle \equiv\left|\frac{d f}{d x}\right\rangle, onde f é uma função \langle x \mid f\rangle=f(x). Encontre o elemento de matriz \langle x| \hat{D}\left|x^{\prime}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede o elemento de matriz na base |x\rangle do operador de derivação \hat D definido por
\hat D\lvert f\rangle = \Bigl\lvert \frac{df}{dx}\Bigr\rvert
onde \langle x\mid f\rangle = f(x). Vamos usar a resolução da identidade na base \lvert x\rangle e comparar a ação de \hat D sobre um estado genérico \lvert f\rangle.

Passo 2

Inserindo a identidade \displaystyle \mathbb{I}=\int dx'\,\lvert x'\rangle\langle x'\rvert entre \hat D e \lvert f\rangle, temos
\hat D\lvert f\rangle =\hat D\Bigl(\int dx'\,\lvert x'\rangle\langle x'\mid f\rangle\Bigr) =\int dx'\,\hat D\lvert x'\rangle\,f(x').

Passo 3

Projetando à esquerda em \langle x\lvert, obtemos
\langle x\mid \hat D\mid f\rangle =\int dx'\,\langle x\mid \hat D\mid x'\rangle\,f(x').
Por outro lado, pela definição de \hat D, temos
\langle x\mid \hat D\mid f\rangle =\frac{d}{dx}f(x).

Passo 4

Logo precisamos de um kernel K(x,x')\equiv\langle x\mid \hat D\mid x'\rangle tal que
\int dx'\,K(x,x')\,f(x')=\frac{d}{dx}f(x).
Sabemos que \displaystyle \int dx'\,\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x')\,f(x')=\frac{d}{dx}f(x). Portanto
K(x,x') =\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x').

Resposta

\langle x\mid \hat D\mid x'\rangle =\frac{\partial}{\partial x}\,\delta(x - x').

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