Considere a função de um operador Hermitiano f(\hat{A}), essa função é Hermitiana?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um operador Hermitiano \hat A, a função de operador f(\hat A) também é Hermitiana. O conteúdo envolve o teorema espectral para operadores Hermitianos e o cálculo funcional de operadores, mostrando que basta analisar os valores de f nas autofunções de \hat A.

Passo 2

Pelo teorema espectral, como \hat A é Hermitiano, existe uma base ortonormal de autofunções \{\lvert a_n\rangle\} com autovalores reais \{a_n\}, de modo que
\hat A = \sum_n a_n\,\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert.
Definimos a função de operador f(\hat A) agindo sobre cada autovetor como
f(\hat A)\,\lvert a_n\rangle = f(a_n)\,\lvert a_n\rangle.
Em termos de projeções, isso equivale a
f(\hat A) = \sum_n f(a_n)\,\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert.

Passo 3

Para verificar se f(\hat A) é Hermitiano, calculamos o adjunto
\bigl[f(\hat A)\bigr]^\dagger = \sum_n f(a_n)^*\,\bigl(\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert\bigr)^\dagger = \sum_n f(a_n)^*\,\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert.
Como \lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert é Hermitiana, temos \bigl[f(\hat A)\bigr]^\dagger = f(\hat A) se, e somente se, todos os f(a_n) forem reais, ou seja, f(a_n)^*=f(a_n) para todo n.

Passo 4

Concluímos que f(\hat A) é Hermitiano exatamente quando f atribui valores reais a cada autovalor de \hat A. Se f for complex-valued em algum ponto do espectro, então f(\hat A) não será Hermitiano.

Resposta

f(\hat A) é Hermitiano se, e somente se, f(a)\in\mathbb{R} para todo autovalor a de \hat A.

Exercícios relacionados