Considere a função de um operador Hermitiano
, essa função é Hermitiana?
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um operador Hermitiano
, a função de operador
também é Hermitiana. O conteúdo envolve o teorema espectral para operadores Hermitianos e o cálculo funcional de operadores, mostrando que basta analisar os valores de
nas autofunções de
.
Passo 2
Pelo teorema espectral, como
é Hermitiano, existe uma base ortonormal de autofunções
com autovalores reais
, de modo que
Definimos a função de operador
agindo sobre cada autovetor como
Em termos de projeções, isso equivale a
Passo 3
Para verificar se
é Hermitiano, calculamos o adjunto
Como
é Hermitiana, temos
se, e somente se, todos os
forem reais, ou seja,
para todo
.
Passo 4
Concluímos que
é Hermitiano exatamente quando
atribui valores reais a cada autovalor de
. Se
for complex-valued em algum ponto do espectro, então
não será Hermitiano.