Considere dois pontos no plano com coordenadas polares (r1, theta1) e (r2, theta2).
(a) Encontre a distância entre os pontos (2, pi3) e (4, 2 pi3).
(b) Encontre uma fórmula geral para a distância entre dois pontos em coordenadas polares: (r1, theta1) e (r2, theta2).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em coordenadas polares l(r1,theta1r) e l(r2,theta2r) e pede (a) a distância entre l(2,tfracpi3r) e l(4,tfrac2pi3r), e (b) a fórmula geral dessa distância. Vamos usar conversão para coordenadas cartesianas e a lei dos cossenos para chegar ao resultado.

Passo 2

Convertemos cada ponto para cartesianas:
xi = ricosthetai, yi = risinthetai
A distância ao quadrado é
d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =r1^2+r2^2-2,r1r2cos(theta1-theta2),
pela expansão e identidade de soma de cossenos. Logo a fórmula geral é
d=raiz,r1^2+r2^2-2,r1r2cosl(theta1-theta2r),

Passo 3

Agora aplicamos ao caso l(r1,theta1r)=(2,tfracpi3) e l(r2,theta2r)=(4,tfrac2pi3). Temos
theta1-theta2=pi3-2pi3=-pi3, cosl(-tfracpi3r)=tfrac12
Substituindo na fórmula:
d =raiz2^2+4^2-2cdot2cdot4cdottfrac12 =raiz4+16-8 =raiz12 =2raiz3

Resposta

(a) 2raiz3
(b) d=raiz,r1^2+r2^2-2,r1r2cosl(theta1-theta2r),

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