Transforme cada equação polar a seguir em uma equação em coordenadas cartesianas, e identifique o tipo de curva representada.
(h) r=2raizcos ^2 theta+4 sin ^2 theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada em coordenadas polares
r=2raizcos^2theta+4sin^2theta
para uma equação em coordenadas cartesianas (x,y) e dizer que tipo de curva é.
Para isso vamos usar as relações básicas
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2=x^2+y^2

Passo 2

Começamos isolando o denominador e elevando ao quadrado para eliminar a raiz. Multiplicando os dois lados por raizcos^2theta+4sin^2theta e depois elevando ao quadrado, obtemos
r^2l(cos^2theta+4sin^2thetar)=4

Passo 3

Agora substituímos costheta = tfracxr e sintheta = tfracyr em cada termo:
r^2l(l(tfracxrr)^2 +4l(tfracyrr)^2r)=4 Longrightarrow x^2+4y^2=4

Passo 4

A equação
x^2+4y^2=4
é a forma padrão de uma elipse com semi-eixos a=2 (no eixo x) e b=1 (no eixo y).

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é
x^2+4y^2=4
e a curva é uma elipse.

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