Seja G um grupo multiplicativo. Prove que
é um subgrupo comutativo de G.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num grupo multiplicativo
, o conjunto
é um subgrupo de
e que, além disso, todo par de elementos de
comuta. Para isso vamos verificar:
-
(identidade está em ), - fechamento em produto,
- fechamento em inverso,
- comutatividade de quaisquer
.
Passo 2
Mostramos que a identidade
de
pertence a
. De fato, em todo grupo vale
logo
e, portanto,
. Assim
.
Passo 3
Sejam
. Como
e
são seus próprios inversos, temos
Calculemos o inverso de
:
Isto mostra duas coisas:
-
, logo ; -
, provando que e comutam.
Passo 4
Agora que já sabemos que
, podemos também olhar para
:
Mas acabamos de ver que
. Logo
o que garante
e, portanto,
. Assim
é fechado sob produto e sob inversos.
Resposta
O conjunto
satisfaz todos os requisitos de subgrupo e, além disso, qualquer par de elementos em
comuta. Portanto,
é um subgrupo comutativo de
.