Seja G um grupo multiplicativo. Prove que H=x in G mid x=x^-1 é um subgrupo comutativo de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num grupo multiplicativo G, o conjunto
H = ,xin G mid x = x^-1
é um subgrupo de G e que, além disso, todo par de elementos de H comuta. Para isso vamos verificar:
  1. Hneqemptyset (identidade está em H),
  2. fechamento em produto,
  3. fechamento em inverso,
  4. comutatividade de quaisquer x,yin H.

Passo 2

Mostramos que a identidade e de G pertence a H. De fato, em todo grupo vale
e^-1=e,
logo e=e^-1 e, portanto, ein H. Assim Hneqemptyset.

Passo 3

Sejam x,yin H. Como x e y são seus próprios inversos, temos
x^-1=x e y^-1=y
Calculemos o inverso de y x:
(yx)^-1 = x^-1,y^-1 = x,y
Isto mostra duas coisas:
  1. ;yx=(yx)^-1, logo yxin H;
  2. yx = (yx)^-1 = x,y, provando que x e y comutam.

Passo 4

Agora que já sabemos que yxin H, podemos também olhar para (xy)^-1:
(xy)^-1 = y^-1,x^-1 = y,x
Mas acabamos de ver que y x = x y. Logo
(xy)^-1 = x,y,
o que garante xy=(xy)^-1 e, portanto, xyin H. Assim H é fechado sob produto e sob inversos.

Resposta

O conjunto H satisfaz todos os requisitos de subgrupo e, além disso, qualquer par de elementos em H comuta. Portanto, H é um subgrupo comutativo de G.

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