Em cada caso, encontre as compostas f circ g e g circ f. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
f(x)=2 x, g(x)=x^2+1.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = 2x, g(x) = x^2 + 1
e pede para achar as compostas fcirc g e gcirc f, determinar domínio e imagem de cada uma e descrever seus gráficos. Vamos usar a definição de composição de funções e conceitos básicos de domínio, imagem e esboço de parábolas.

Passo 2

Para fcirc g aplicamos primeiro g e depois f. Assim, para todo xinR,
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = fl(x^2 + 1r) = 2,(x^2 + 1) = 2x^2 + 2
O domínio de fcirc g é todo valor de x em que g(x) esteja no domínio de f. Como g e f são definidas para todos os reais,
Dom(fcirc g)=R
A imagem de fcirc g é o conjunto de valores de 2x^2+2. Como x^2>=0 para todo x, temos
2x^2+2>=2,
logo
Im(fcirc g)=[2,infty)

Passo 3

O gráfico de (fcirc g)(x)=2x^2+2 é uma parábola com vértice em (0,2) que se abre para cima, sendo mais “fine” (mais fechada) que y=x^2. Em particular:
– O eixo de simetria é a reta x=0.
– No ponto x=0 ela atinge o mínimo y=2.
– Para valores de lvert xrvert crescentes, y cresce quadráticamente.

Passo 4

Para gcirc f aplicamos primeiro f e depois g. Assim,
(gcirc f)(x) = gl(f(x)r) = g(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1
Novamente f e g são definidas em R, logo
Dom(gcirc f)=R
Como 4x^2>=0, tem-se
4x^2 + 1>=1,
portanto
Im(gcirc f)=[1,infty)

Passo 5

O gráfico de (gcirc f)(x)=4x^2+1 também é uma parábola que se abre para cima, com vértice em (0,1) e eixo de simetria x=0. Ela é ainda mais “fechada” que 2x^2+2, pois o coeficiente de x^2 é maior.

Resposta

fcirc g(x)=2x^2+2,
Dom(fcirc g)=R,
Im(fcirc g)=[2,infty).
gcirc f(x)=4x^2+1,
Dom(gcirc f)=R,
Im(gcirc f)=[1,infty).
Os gráficos são parábolas com vértices em (0,2) e (0,1), respectivamente, ambas abrindo para cima.

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