Em cada caso, encontre as compostas
e
. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para achar as compostas
e
, determinar domínio e imagem de cada uma e descrever seus gráficos. Vamos usar a definição de composição de funções e conceitos básicos de domínio, imagem e esboço de parábolas.
Passo 2
Para
aplicamos primeiro
e depois
. Assim, para todo
,
O domínio de
é todo valor de
em que
esteja no domínio de
. Como
e
são definidas para todos os reais,
A imagem de
é o conjunto de valores de
. Como
para todo
, temos
logo
Passo 3
O gráfico de
é uma parábola com vértice em
que se abre para cima, sendo mais “fine” (mais fechada) que
. Em particular:
– O eixo de simetria é a reta .
– No ponto ela atinge o mínimo
.
– Para valores de crescentes,
cresce quadráticamente.
– O eixo de simetria é a reta
– No ponto
– Para valores de
Passo 4
Para
aplicamos primeiro
e depois
. Assim,
Novamente
e
são definidas em
, logo
Como
, tem-se
portanto
Passo 5
O gráfico de
também é uma parábola que se abre para cima, com vértice em
e eixo de simetria
. Ela é ainda mais “fechada” que
, pois o coeficiente de
é maior.
Resposta
Os gráficos são parábolas com vértices em
e
, respectivamente, ambas abrindo para cima.