Considere dois referenciais inerciais
e
, sendo que
se move com velocidade constante em relação a
.
Mostre que:
a) No caso unidimensional (1D), a velocidade de uma partícula medida em Sé diferente da medida em
, mas a aceleração é a mesma nos dois referenciais.
b) No caso bidimensional (2D), utilizando a forma vetorial, a velocidade também depende do referencial adotado, enquanto a aceleração permanece invariante.
b) No caso bidimensional (2D), utilizando a forma vetorial, a velocidade também depende do referencial adotado, enquanto a aceleração permanece invariante.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, para deixar tudo claro (não resolvo nada ainda).
- Dados do enunciado:
- Existem dois referenciais inerciais
e . - O referencial
move-se com velocidade constante em relação a . Vou chamar essa velocidade relativa de . No caso unidimensional essa velocidade será simplesmente . - Uma partícula tem posição, velocidade e aceleração medidas em
e em (vamos relacionar essas grandezas).
- Existem dois referenciais inerciais
- Perguntas:
- (a) No caso unidimensional (1D): mostrar que a velocidade da partícula medida em
é diferente daquela medida em , enquanto a aceleração é a mesma nos dois referenciais. - (b) No caso bidimensional (2D), em forma vetorial: mostrar que a velocidade depende do referencial adotado, enquanto a aceleração permanece invariante.
- (a) No caso unidimensional (1D): mostrar que a velocidade da partícula medida em
Passo 2
Definições e convenções para o caso 1D (explico o que cada símbolo significa).
- Seja
a coordenada da partícula medida no referencial . Aqui é o tempo medido pelos dois referenciais (frames inerciais compartilham o mesmo parâmetro tempo). - Seja
a coordenada da partícula medida em . - Seja
a velocidade constante de relativa a no sentido positivo do eixo . Isso significa que a origem de move-se em segundo . - A relação geométrica entre as coordenadas é:
é a posição da partícula relativa à origem de , logo
Explanação: se a partícula está em
medido em
, e a origem de
está em
medida em
, então a posição relativa é a diferença.
Passo 3
Derivada temporal: velocidade no caso 1D.
- Definição de velocidade: a velocidade em
é . Em é . - Diferenciando a relação
obtemos
- Como
é constante, . Assim
Interpretação didática: a velocidade que se mede em
é a velocidade em
menos a velocidade relativa entre os referenciais. Portanto a velocidade depende do referencial (é diferente quando
).
Passo 4
Derivada segunda temporal: aceleração no caso 1D.
- Definição de aceleração:
em e em . - Diferenciando
com respeito a :
- Como
é constante, . Logo
Conclusão do 1D: acelerações medidas em
e
são iguais. Isso ocorre porque a diferença entre os dois referenciais é apenas uma velocidade constante — essa constante some ao derivar.
Passo 5
Um exemplo numérico curto (para fixar a ideia).
- Suponha
(unidades: m/s) e a partícula tem velocidade em igual a m/s e aceleração m/s . - Pelo resultado, em
a velocidade será m/s (diferente), e a aceleração será m/s (igual). Isso ilustra concretamente a diferença entre velocidade e aceleração.
Passo 6
Agora o caso 2D em forma vetorial — definições e convenções.
- Seja
o vetor posição da partícula em . - Seja
o vetor posição em . - Seja
o vetor velocidade constante de em relação a . Em 2D tem componentes (por exemplo ), mas continua constante no tempo. - A relação entre posições é análoga à 1D:
Explicação: subtrai-se a posição da origem de
, que em
é
.
Passo 7
Velocidade vetorial no caso 2D.
- Definição vetorial:
e . - Derivando
obtemos
- Como
é constante, . Logo
Interpretação: a velocidade vetorial também depende do referencial; basta subtrair o vetor de velocidade relativo entre os referenciais.
Passo 8
Aceleração vetorial no caso 2D.
- Definição:
e . - Diferenciando
:
- Como
é constante, . Logo
Interpretação: a aceleração vetorial é invariante entre dois referenciais inerciais que se deslocam com velocidade relativa constante.
Passo 9
Comentário final e dica para prova (motivacional).
- Resumindo: sempre que os referenciais diferem apenas por uma velocidade constante (translação uniforme), as velocidades mudam pela subtração dessa velocidade relativa, mas as acelerações não mudam porque a derivada temporal de uma constante é zero.
- Dica prática para prova: para passar de
para subtraia das velocidades; se o problema envolve acelerações e os frames são inerciais em translação uniforme, pode usar a mesma aceleração sem transformar nada — isso simplifica bastante os cálculos. - Força, você vai mandar bem — essa propriedade é uma das que mais aparecem em problemas de dinâmica.
Resposta
a)
,
b)
,