Considere dois referenciais inerciais S e S^{\prime}, sendo que S^{\prime} se move com velocidade constante em relação a S.

Mostre que:

a) No caso unidimensional (1D), a velocidade de uma partícula medida em Sé diferente da medida em S^{\prime}, mas a aceleração é a mesma nos dois referenciais.
b) No caso bidimensional (2D), utilizando a forma vetorial, a velocidade também depende do referencial adotado, enquanto a aceleração permanece invariante.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, para deixar tudo claro (não resolvo nada ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Existem dois referenciais inerciais S e S'.
    • O referencial S' move-se com velocidade constante em relação a S. Vou chamar essa velocidade relativa de \mathbf{V}. No caso unidimensional essa velocidade será simplesmente V.
    • Uma partícula tem posição, velocidade e aceleração medidas em S e em S' (vamos relacionar essas grandezas).
  • Perguntas:
    • (a) No caso unidimensional (1D): mostrar que a velocidade da partícula medida em S é diferente daquela medida em S', enquanto a aceleração é a mesma nos dois referenciais.
    • (b) No caso bidimensional (2D), em forma vetorial: mostrar que a velocidade depende do referencial adotado, enquanto a aceleração permanece invariante.

Passo 2

Definições e convenções para o caso 1D (explico o que cada símbolo significa).
  • Seja x(t) a coordenada da partícula medida no referencial S. Aqui t é o tempo medido pelos dois referenciais (frames inerciais compartilham o mesmo parâmetro tempo).
  • Seja x'(t) a coordenada da partícula medida em S'.
  • Seja V a velocidade constante de S' relativa a S no sentido positivo do eixo x. Isso significa que a origem de S' move-se em S segundo X_{O'}(t)=Vt.
  • A relação geométrica entre as coordenadas é: x'(t) é a posição da partícula relativa à origem de S', logo
x'(t)=x(t)-Vt.
Explanação: se a partícula está em x medido em S, e a origem de S' está em Vt medida em S, então a posição relativa é a diferença.

Passo 3

Derivada temporal: velocidade no caso 1D.
  • Definição de velocidade: a velocidade em S é v(t)=\dfrac{d}{dt}x(t). Em S' é v'(t)=\dfrac{d}{dt}x'(t).
  • Diferenciando a relação x'(t)=x(t)-Vt obtemos
v'(t)=\frac{d}{dt}x'(t)=\frac{d}{dt}x(t)-\frac{d}{dt}(Vt).
  • Como V é constante, \dfrac{d}{dt}(Vt)=V. Assim
v'(t)=v(t)-V.
Interpretação didática: a velocidade que se mede em S' é a velocidade em S menos a velocidade relativa entre os referenciais. Portanto a velocidade depende do referencial (é diferente quando V\neq 0).

Passo 4

Derivada segunda temporal: aceleração no caso 1D.
  • Definição de aceleração: a(t)=\dfrac{d}{dt}v(t)=\dfrac{d^2}{dt^2}x(t) em S e a'(t)=\dfrac{d}{dt}v'(t)=\dfrac{d^2}{dt^2}x'(t) em S'.
  • Diferenciando v'(t)=v(t)-V com respeito a t:
a'(t)=\frac{d}{dt}v'(t)=\frac{d}{dt}v(t)-\frac{d}{dt}V.
  • Como V é constante, \dfrac{d}{dt}V=0. Logo
a'(t)=a(t).
Conclusão do 1D: acelerações medidas em S e S' são iguais. Isso ocorre porque a diferença entre os dois referenciais é apenas uma velocidade constante — essa constante some ao derivar.

Passo 5

Um exemplo numérico curto (para fixar a ideia).
  • Suponha V=5 (unidades: m/s) e a partícula tem velocidade em S igual a v=12 m/s e aceleração a=2 m/s ^2.
  • Pelo resultado, em S' a velocidade será v'=12-5=7 m/s (diferente), e a aceleração será a'=2 m/s ^2 (igual). Isso ilustra concretamente a diferença entre velocidade e aceleração.

Passo 6

Agora o caso 2D em forma vetorial — definições e convenções.
  • Seja \mathbf{r}(t) o vetor posição da partícula em S.
  • Seja \mathbf{r}'(t) o vetor posição em S'.
  • Seja \mathbf{V} o vetor velocidade constante de S' em relação a S. Em 2D \mathbf{V} tem componentes (por exemplo \mathbf{V}=(V_x,V_y)), mas continua constante no tempo.
  • A relação entre posições é análoga à 1D:
\mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}(t)-\mathbf{V}\,t.
Explicação: subtrai-se a posição da origem de S', que em S é \mathbf{V}t.

Passo 7

Velocidade vetorial no caso 2D.
  • Definição vetorial: \mathbf{v}(t)=\dfrac{d}{dt}\mathbf{r}(t) e \mathbf{v}'(t)=\dfrac{d}{dt}\mathbf{r}'(t).
  • Derivando \mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}(t)-\mathbf{V}t obtemos
\mathbf{v}'(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)-\frac{d}{dt}(\mathbf{V}t).
  • Como \mathbf{V} é constante, \dfrac{d}{dt}(\mathbf{V}t)=\mathbf{V}. Logo
\mathbf{v}'(t)=\mathbf{v}(t)-\mathbf{V}.
Interpretação: a velocidade vetorial também depende do referencial; basta subtrair o vetor de velocidade relativo entre os referenciais.

Passo 8

Aceleração vetorial no caso 2D.
  • Definição: \mathbf{a}(t)=\dfrac{d}{dt}\mathbf{v}(t)=\dfrac{d^2}{dt^2}\mathbf{r}(t) e \mathbf{a}'(t)=\dfrac{d}{dt}\mathbf{v}'(t).
  • Diferenciando \mathbf{v}'(t)=\mathbf{v}(t)-\mathbf{V}:
\mathbf{a}'(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{v}'(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t)-\frac{d}{dt}\mathbf{V}.
  • Como \mathbf{V} é constante, \dfrac{d}{dt}\mathbf{V}=\mathbf{0}. Logo
\mathbf{a}'(t)=\mathbf{a}(t).
Interpretação: a aceleração vetorial é invariante entre dois referenciais inerciais que se deslocam com velocidade relativa constante.

Passo 9

Comentário final e dica para prova (motivacional).
  • Resumindo: sempre que os referenciais diferem apenas por uma velocidade constante (translação uniforme), as velocidades mudam pela subtração dessa velocidade relativa, mas as acelerações não mudam porque a derivada temporal de uma constante é zero.
  • Dica prática para prova: para passar de S para S' subtraia \mathbf{V} das velocidades; se o problema envolve acelerações e os frames são inerciais em translação uniforme, pode usar a mesma aceleração sem transformar nada — isso simplifica bastante os cálculos.
  • Força, você vai mandar bem — essa propriedade é uma das que mais aparecem em problemas de dinâmica.

Resposta

a) v'=v-V, \;a'=a
b) \mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V}, \;\mathbf{a}'=\mathbf{a}

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