Considere uma partícula descrevendo um movimento circular uniforme de raio R, com velocidade escalar constante v. Mostre algebricamente que a aceleração centrípeta dessa partícula pode ser expressa em função de v e R.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula descrevendo um movimento circular uniforme de raio R com velocidade escalar constante v. O que se pede é mostrar algebricamente que a aceleração centrípeta pode ser escrita em função de v e R.
Informações relevantes do enunciado:
  • Raio da trajetória: R.
  • Velocidade escalar (módulo da velocidade): v (constante).
  • Movimento: circular uniforme (ou seja, a partícula percorre a circunferência com velocidade angular constante).
O objetivo final: obter uma expressão para a aceleração centrípeta em termos de v e R.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente da posição da partícula. Num referencial plano com vetores unitários \hat{\imath} e \hat{\jmath}, a posição da partícula em função do tempo pode ser escrita usando o ângulo polar \theta(t):
\mathbf{r}(t) = R\cos\big(\theta(t)\big)\,\hat{\imath} + R\sin\big(\theta(t)\big)\,\hat{\jmath}.
Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor posição; R é constante e \theta(t) é o ângulo entre o raio e o eixo x em função do tempo.

Passo 3

Para movimento circular uniforme a velocidade angular é constante. Então existe uma constante \omega tal que
\theta(t)=\omega t+\theta_0,
onde \theta_0 é o ângulo inicial. A velocidade angular \omega tem unidade de rad/s e mede a taxa de variação do ângulo. Em particular, em M.C.U. \omega é constante.

Passo 4

Calcular o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}. Usando a regra da cadeia e as derivadas \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) e \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t), obtemos
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} = -R\omega\sin(\omega t)\,\hat{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\hat{\jmath}.
Fatorando,
\mathbf{v}(t)=R\omega\big(-\sin(\omega t)\,\hat{\imath} + \cos(\omega t)\,\hat{\jmath}\big).

Passo 5

Calcular o módulo de \mathbf{v}(t) para verificar a relação entre v e \omega. O módulo é
\big\|\mathbf{v}(t)\big\| = \sqrt{\big(R\omega(-\sin(\omega t))\big)^2 + \big(R\omega\cos(\omega t)\big)^2} = R\omega\sqrt{\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)}.
Como \sin^2+\cos^2=1, então
\big\|\mathbf{v}(t)\big\| = R\omega.
Pela definição do enunciado, esse módulo é a velocidade escalar constante v. Portanto
v = R\omega \qquad\Rightarrow\qquad \omega = \frac{v}{R}.

Passo 6

Agora calculamos a aceleração \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}. Diferenciando \mathbf{v}(t) componente a componente e usando novamente a regra da cadeia:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\hat{\imath} - R\omega^2\sin(\omega t)\,\hat{\jmath}.
Repare que isso pode ser escrito em termos de \mathbf{r}(t). Como
\mathbf{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\imath} + R\sin(\omega t)\,\hat{\jmath},
temos
\mathbf{a}(t) = -\omega^2\,\mathbf{r}(t).
Isto mostra duas coisas: (1) a aceleração está sempre dirigida para o centro (oposta a \mathbf{r}), e (2) sua magnitude é proporcional a \omega^2 vezes R.

Passo 7

Calcular o módulo da aceleração. Usando \mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t) e \|\mathbf{r}(t)\|=R, obtemos
\big\|\mathbf{a}(t)\big\| = \omega^2 \,\big\|\mathbf{r}(t)\big\| = \omega^2 R.
Substituindo \omega = \dfrac{v}{R} (do Passo 5) obtemos
\big\|\mathbf{a}(t)\big\| = \left(\frac{v}{R}\right)^2 R = \frac{v^2}{R}.

Passo 8

Comentário físico útil e checagem: a aceleração resultante tem direção radial para dentro (centrípeta) e é sempre perpendicular à velocidade. Pode-se checar que \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0 usando as expressões encontradas, o que confirma que a aceleração não muda o módulo da velocidade, apenas sua direção — característica do movimento circular uniforme.

Resposta

a_c = \frac{v^2}{R}
\mathbf{a} = -\frac{v^2}{R}\,\hat{r}

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