Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h, 2+h)-f(1,2)}{h}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função f: D\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) é dada por \[f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^2+y^2}, & \text{se }0\le x^2+y^2<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^2-y^2}, & \text{se }25\le x^2+y^2\le36. \end{cases}
  • O ponto em questão é (1,2)\]. Aqui \(1^2+2^2=5.
  • O que se pede é o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h,2+h)-f(1,2)}{h}.]

Passo 2

Determinar em qual ramo da função o ponto (1,2) está e verificar se pequenos incrementos permanecem no mesmo ramo.
  • Como 1^2+2^2=5 e 0\le 5<25, o ponto (1,2) pertence ao primeiro ramo, isto é, perto de (1,2) vale
f(x,y)=8-\sqrt{x^2+y^2}.
  • Para garantir que ao fazer (1+h,2+h) com h pequeno continuamos no mesmo ramo, calculemos
(1+h)^2+(2+h)^2 = 5+6h+2h^2.
Se escolhermos, por exemplo, |h|<1, então
5+6h+2h^2 \le 5+6\cdot 1 +2\cdot1^2 =13 <25,
logo para |h|<1 a expressão permanece no ramo 8-\sqrt{x^2+y^2}. Assim o limite procurado pode ser calculado usando apenas esse ramo.

Passo 3

Reduzir a diferença de quociente usando a expressão do ramo aplicável.
Para |h| pequeno,
\frac{f(1+h,2+h)-f(1,2)}{h} = \frac{\bigl(8-\sqrt{(1+h)^2+(2+h)^2}\bigr) - \bigl(8-\sqrt{5}\bigr)}{h} = -\,\frac{\sqrt{5+6h+2h^2}-\sqrt{5}}{h}.
Para calcular o limite, use a conjugada para eliminar as raízes. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5} obtemos
-\,\frac{\sqrt{5+6h+2h^2}-\sqrt{5}}{h} = -\,\frac{5+6h+2h^2-5}{h\bigl(\sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5}\bigr)} = -\,\frac{6h+2h^2}{h\bigl(\sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5}\bigr)}.
Simplificando o fator h,
-\,\frac{6h+2h^2}{h\bigl(\sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5}\bigr)} = -\,\frac{6+2h}{\sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5}}.
Tomando o limite quando h\to 0,
\lim_{h\to 0}\left(-\,\frac{6+2h}{\sqrt{5+6h+2h^2}+\sqrt{5}}\right) = -\,\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = -\,\frac{6}{2\sqrt{5}} = -\,\frac{3}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Interpretação pelo gradiente (dupla verificação didática).
  • No ramo em que estamos, f(x,y)=8-(x^2+y^2)^{1/2}. Definindo r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}, temos f=8-r.
  • Para (x,y)\neq(0,0), r é diferenciável e
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
  • Pela regra da cadeia,
\nabla f(x,y) = -\nabla r(x,y) = -\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right).
  • A diferença quociente considerada corresponde a mover-se na direção (1,1) com parâmetro h. A derivada direcional na direção (1,1) (não normalizada) é \nabla f(1,2)\cdot(1,1). Calculando em (1,2):
\nabla f(1,2)= -\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right),
logo
\nabla f(1,2)\cdot(1,1) = -\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{3}{\sqrt{5}}.
Isto coincide com o valor obtido no passo algébrico anterior, confirmando a resposta.

Resposta

-\dfrac{3}{\sqrt{5}}

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