Exerćció 4: Considere a função
dada por
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função
- O ponto em questão é .
- O que se pede é o limite
Passo 2
Determinar em qual ramo da função o ponto
está e verificar se pequenos incrementos permanecem no mesmo ramo.
- Como
e , o ponto pertence ao primeiro ramo, isto é, perto de vale
- Para garantir que ao fazer
com pequeno continuamos no mesmo ramo, calculemos
Se escolhermos, por exemplo,
, então
logo para
a expressão permanece no ramo
. Assim o limite procurado pode ser calculado usando apenas esse ramo.
Passo 3
Reduzir a diferença de quociente usando a expressão do ramo aplicável.
Para
pequeno,
Para calcular o limite, use a conjugada para eliminar as raízes. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Simplificando o fator
,
Tomando o limite quando
,
Passo 4
Interpretação pelo gradiente (dupla verificação didática).
- No ramo em que estamos,
. Definindo , temos . - Para
, é diferenciável e
- Pela regra da cadeia,
- A diferença quociente considerada corresponde a mover-se na direção
com parâmetro . A derivada direcional na direção (não normalizada) é . Calculando em :
logo
Isto coincide com o valor obtido no passo algébrico anterior, confirmando a resposta.