Considere dois vetores
e
com mesma magnitude. Sendo assim, encontre o ângulo entre os vetores
e e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos dois vetores
e
de mesma magnitude e queremos achar o ângulo entre
e
.
Conteúdo: Álgebra vetorial (produto escalar, magnitude de vetores) e a relação do produto escalar com o cosseno do ângulo entre vetores.
O que vamos precisar:
• Definição de produto escalar ( ).
• Propriedade .
• Simetria .
Conteúdo: Álgebra vetorial (produto escalar, magnitude de vetores) e a relação do produto escalar com o cosseno do ângulo entre vetores.
O que vamos precisar:
• Definição de produto escalar (
• Propriedade
• Simetria
Passo 2
Teoria do produto escalar
O produto escalar entre dois vetores e
é
O produto escalar entre dois vetores
onde
é o ângulo entre eles.
Além disso, quando multiplicamos um vetor por ele mesmo, a gente tem
Além disso, quando multiplicamos um vetor por ele mesmo, a gente tem
Essas fórmulas são a chave pra ligar nossa soma e subtração de vetores com o cosseno do ângulo que queremos achar.
Passo 3
Calculando o produto escalar de
com
:
Usando
,
e
, ficamos com
Como
e
têm mesma magnitude,
, então
Passo 4
Ligando ao cosseno do ângulo
Pela definição de produto escalar:
Pela definição de produto escalar:
Como o lado esquerdo deu zero, temos
Supondo que
e
não são vetores nulos, a única saída é
Resposta
O ângulo entre
e
é
.