Considere dois vetores A e B com mesma magnitude. Sendo assim, encontre o ângulo entre os vetores A+B e e A-B.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos dois vetores A e B de mesma magnitude e queremos achar o ângulo entre A+B e A-B.
Conteúdo: Álgebra vetorial (produto escalar, magnitude de vetores) e a relação do produto escalar com o cosseno do ângulo entre vetores.
O que vamos precisar:
• Definição de produto escalar ( XcdotY=|X|,|Y|cosvarphi).
• Propriedade XcdotX=|X|^2.
• Simetria AcdotB=BcdotA.

Passo 2

Teoria do produto escalar
O produto escalar entre dois vetores X e Y é
XcdotY ;=; |X|;|Y|;cosvarphi,
onde varphi é o ângulo entre eles.
Além disso, quando multiplicamos um vetor por ele mesmo, a gente tem
XcdotX = |X|^2
Essas fórmulas são a chave pra ligar nossa soma e subtração de vetores com o cosseno do ângulo que queremos achar.

Passo 3

Calculando o produto escalar de A+B com A-B:
(A+B)cdot(A-B) = AcdotA ;-;AcdotB ;+;BcdotA ;-;BcdotB
Usando AcdotA=|A|^2, BcdotB=|B|^2 e AcdotB=BcdotA, ficamos com
(A+B)cdot(A-B) = |A|^2 ;-; |B|^2
Como A e B têm mesma magnitude, |A|=|B|, então
|A|^2 - |B|^2 = 0

Passo 4

Ligando ao cosseno do ângulo
Pela definição de produto escalar:
(A+B)cdot(A-B) = |A+B|;|A-B|;costheta
Como o lado esquerdo deu zero, temos
|A+B|;|A-B|;costheta = 0
Supondo que A+B e A-B não são vetores nulos, a única saída é
costheta = 0 Longrightarrow theta = 90^circ

Resposta

O ângulo entre A+B e A-B é 90^circ.

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