Considere os dois vetores
u=(2,1,-3) e v=(1,0,-2)
(a) Escreva os vetores na notação dos versores i, j, k. (b) Calcule u+v e escreva o resultado em notação de versores. © Determine as componentes do vetor resultante de -2 u+3 v. (d) Calcule as normas |u| e |v|.

Passo 1

Beleza, vamos estudar operações com vetores em três dimensões. O enunciado dá dois vetores
u=(2,1,-3), v=(1,0,-2)
e pede:
(a) escrever na forma com i,j,k;
(b) achar u+v;
© achar as componentes de -2u+3v;
(d) calcular as normas |u| e |v|.
Conteúdo: operações básicas de vetores (adição, multiplicação por escalar) e norma de vetor. A gente vai precisar lembrar que:
  • na notação com versores, usamos i,j,k para indicar as componentes nas direções x, y e z;
  • adição e multiplicação por escalar são feitas coordenada a coordenada;
  • a norma de um vetor (x,y,z) é raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

(a) Notação com versores
Se u=(2,1,-3), isso significa que a componente em x é 2, em y é 1 e em z é –3. Logo
u=2,i+1,j-3,k
Analogamente,
v=(1,0,-2)Longrightarrow v=1,i+0,j-2,k= i-2,k

Passo 3

(b) Soma de vetores
Para somar u+v, a gente soma cada componente correspondente:
u+v=(2+1,;1+0,;-3+(-2))=(3,1,-5)
Em versores, fica
u+v=3,i+1,j-5,k

Passo 4

© Combinação linear -2u+3v
Primeiro, multiplica cada componente de u por –2:
-2u=(-2cdot 2,;-2cdot 1,;-2cdot(-3))=(-4,-2,6)
Depois, multiplica cada componente de v por 3:
3v=(3cdot1,;3cdot0,;3cdot(-2))=(3,0,-6)
Agora soma essas duas:
-2u+3v=(-4+3,;-2+0,;6+(-6))=(-1,-2,0)
Então as componentes do vetor resultante são (-1,,-2,,0).

Passo 5

(d) Normas de u e v
A norma de um vetor (x,y,z) é dada por
|,(x,y,z)|=raizx^2+y^2+z^2
Então para u=(2,1,-3):
|u|=raiz2^2+1^2+(-3)^2=raiz4+1+9=raiz14
E para v=(1,0,-2):
|v|=raiz1^2+0^2+(-2)^2=raiz1+0+4=raiz5

Resposta

(a) u=2i+j-3k, \quad v=i-2k.
(b) u+v=3i+j-5k.
© -2u+3v=(-1,,-2,,0).
(d) |u|=raiz14, \quad |v|=raiz5.

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