A Lagrangiana do pêndulo duplo é dada por
Considere as pequenas perturbações
, e
, para o caso
e
, e determine:
As frequências características.
As frequências características.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos um pêndulo duplo com Lagrangiana
e queremos achar as frequências próprias (características) de pequenas oscilações, usando
no caso especial
Conteúdo: oscilações pequenas e modos normais. Vamos precisar linearizar a Lagrangiana (expandir
Passo 2
Linearizando para ângulos pequenos:
- Aproximamos
. - Não há termos de ordem maior que quadrática em
e .
Então a energia cinética
vira
e a potencial
(trocamos o sinal do termo de potencial na Lagrangiana)
Passo 3
Escrevemos isso em forma matricial:
com
As frequências vêm da condição
Passo 4
Agora, no caso
e
, definimos
para simplificar:
Logo
Passo 5
Calculamos o determinante:
Factorizando
e
, e resolvendo em
, chega-se a uma equação quadrática cuja solução é
Resposta
As frequências características são