A Lagrangiana do pêndulo duplo é dada por
L=(m1+m2)2 l1^2 dottheta1^2+m22 l2^2 dottheta2^2+m2 l1 l2 dottheta1 dottheta2 cos (theta1-theta2)+(m1+m2) g l1 cos theta1+m2 g l2 cos theta2 Considere as pequenas perturbações eta1=l sin theta1 approx l theta1, e eta2=l sin theta2 approx l theta2, para o caso m1=3 m2 e l2=2 l1, e determine:
As frequências características.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um pêndulo duplo com Lagrangiana
L=(m1+m2)2l1^2dottheta1^2+m22l2^2dottheta2^2 +m2,l1l2,dottheta1dottheta2cos(theta1-theta2) +(m1+m2)gl1costheta1+m2gl2costheta2,
e queremos achar as frequências próprias (características) de pequenas oscilações, usando
etaiapprox l,thetai(thetaill1),
no caso especial m1=3m2 e l2=2l1.
Conteúdo: oscilações pequenas e modos normais. Vamos precisar linearizar a Lagrangiana (expandir costhetaapprox1-theta^2/2) e montar as matrizes de massa e rigidez para achar det(K-omega^2M)=0

Passo 2

Linearizando para ângulos pequenos:
  • Aproximamos costhetaiapprox1-thetai^2/2.
  • Não há termos de ordem maior que quadrática em thetai e dotthetai.
Então a energia cinética T vira
T=tfrac12l[(m1+m2)l1^2dottheta1^2 +2,m2,l1l2,dottheta1dottheta2 +m2,l2^2dottheta2^2r],
e a potencial V (trocamos o sinal do termo de potencial na Lagrangiana)
V=tfrac12l[(m1+m2)gl1,theta1^2 + m2gl2,theta2^2r]

Passo 3

Escrevemos isso em forma matricial:
T=tfrac12dotboldsymboltheta^T M,dotboldsymboltheta, V=tfrac12boldsymboltheta^T K,boldsymboltheta, boldsymboltheta=theta1theta2,
com
M= (m1+m2)l1^2 & m2,l1l2 [6pt] m2,l1l2 & m2,l2^2 , K= (m1+m2)gl1 & 0 [6pt] 0 & m2,gl2
As frequências vêm da condição
detl(K-omega^2Mr)=0

Passo 4

Agora, no caso m1=3m2 e l2=2l1, definimos m2=m para simplificar:
m1+m2=4m, l2=2l1
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M= 4m,l1^2 & 2m,l1^2 [4pt] 2m,l1^2 & 4m,l1^2 , K= 4m,g,l1 & 0 [4pt] 0 & 2m,g,l1

Passo 5

Calculamos o determinante:
det! 4mgl1-omega^2,4ml1^2 & -omega^2,2ml1^2 [6pt] -omega^2,2ml1^2 & 2mgl1-omega^2,4ml1^2 =0
Factorizando m e l1^2, e resolvendo em omega^2, chega-se a uma equação quadrática cuja solução é
omega^2=gl1l(1pmraiz33r)

Resposta

As frequências características são
boxed omega1=raizgl1l(1+tfracraiz33r), omega2=raizgl1l(1-tfracraiz33r)

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