Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas
é dada por
onde
é uma constante arbitrária.
Obtenha as equações de Euler-Lagrange.
Obtenha as equações de Euler-Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. A Lagrangiana em coordenadas esféricas é
O conteúdo que usamos aqui é Mecânica Analítica, mais precisamente a fórmula de Euler–Lagrange:
para cada coordenada
. Nas contas a gente vai precisar de derivadas parciais de
em relação a
e também em relação a
, e depois aplicar a regra da cadeia (derivada total no tempo).
Passo 2
Equação de Euler–Lagrange para
. Primeiro, escrevo
destacando o termo em
:
- ∂L/∂
:
- d/dt desse resultado:
- ∂L/∂r:
- Do termo cinético
vem
. - Do potencial
vem . - Do termo
vem .
Então
- Montando Euler–Lagrange:
Passo 3
Equação para
.
- ∂L/∂
= . - d/dt disso:
- ∂L/∂
: só vem do termo , dando
- Euler–Lagrange:
ou seja
Passo 4
Equação para
. Note que
não depende de
explicitamente, só de
, então é coordenada cíclica.
- ∂L/∂
= . - A derivada total:
Isso é a conservação do momento angular em
. Se quiser escrever expandido:
Resposta
As três equações de Euler–Lagrange são:
- Radial
:
- Polar
:
- Azimutal
(coordenada cíclica):