Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas (r, theta, phi) é dada por
L=m2(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sin ^2 theta dotphi^2)-kr(1+12 dotr^2c^2)
onde k é uma constante arbitrária.
Obtenha as equações de Euler-Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. A Lagrangiana em coordenadas esféricas é
L=m2l(dot r^2 + r^2dottheta^2 + r^2sin^2theta,dotphi^2r) ;-;krl(1+12dot r^2c^2r)
O conteúdo que usamos aqui é Mecânica Analítica, mais precisamente a fórmula de Euler–Lagrange:
ddt!l(partial Lpartialdot qir);-;partial Lpartial qi=0,
para cada coordenada . Nas contas a gente vai precisar de derivadas parciais de em relação a e também em relação a , e depois aplicar a regra da cadeia (derivada total no tempo).

Passo 2

Equação de Euler–Lagrange para L= m2dot r^2-k2c^2rdot r^2 ;+; m2r^2dottheta^2+ m2r^2sin^2theta,dotphi^2 ;-;kr . Primeiro, escrevo partial Lpartialdot r = mdot r ;-;kc^2r,dot r destacando o termo em ddtl(mdot r-kc^2rdot rr) = mddot r -kc^2r,ddot r +kc^2,dot r^2r^2 :
partial Lpartial r = m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotphi^2r) +kr^2 +k,dot r^22c^2r^2
  1. ∂L/∂ l(m-kc^2rr)ddot r +k,dot r^22c^2r^2 -m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotphi^2r) -kr^2 =0 :
  1. d/dt desse resultado:
  1. ∂L/∂r:
  • Do termo cinético vem
    .
  • Do potencial vem .
  • Do termo vem .
    Então
  1. Montando Euler–Lagrange:

Passo 3

Equação para ddt(m,r^2dottheta) = ml(2rdot r,dottheta + r^2ddotthetar) .
  1. ∂L/∂ m,r^2sinthetacostheta,dotphi^2 = ml(2rdot r,dottheta + r^2ddotthetar) - m,r^2sinthetacostheta,dotphi^2 =0, .
  2. d/dt disso:
r^2ddottheta +2rdot r,dottheta - r^2sinthetacostheta,dotphi^2 =0
  1. ∂L/∂ : só vem do termo , dando
  1. Euler–Lagrange:
ou seja

Passo 4

Equação para ddtl(m,r^2sin^2theta,dotphir) =0 . Note que r^2sin^2theta,ddotphi +2rdot r,sin^2theta,dotphi +2r^2sinthetacostheta,dottheta,dotphi=0 não depende de explicitamente, só de , então é coordenada cíclica.
  1. ∂L/∂ = .
  2. A derivada total:
Isso é a conservação do momento angular em . Se quiser escrever expandido:

Resposta

As três equações de Euler–Lagrange são:
  1. Radial l(m-kc^2rr)ddot r +k,dot r^22c^2r^2 -m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotphi^2r) -kr^2 =0 :
r^2ddottheta +2rdot r,dottheta - r^2sinthetacostheta,dotphi^2 =0
  1. Polar ddtl(r^2sin^2theta,dotphir)=0 Long<=ftrightarrow r^2sin^2theta,ddotphi +2rdot r,sin^2theta,dotphi +2r^2sinthetacostheta,dottheta,dotphi=0 :
  1. Azimutal (coordenada cíclica):

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