Considere duas ações, cujos retornos dependem da taxa de juros futura, da seguinte forma:
Taxa de Juros Retorno Ação 1 Retorno Ação 2
Cai
Sobe
A probabilidade da taxa de juros cair é de , contra de subir.
a) Calcule os retornos esperados das ações 1 e 2.
b) Para saber o comportamento futuro da taxa de juros e aprimorar sua análise, você busque o auxílio de uma firma de consultoria que:
  • quando a taxa de juros cai, acerta das previsões.
  • quando a taxa de juros sobe, acerta das previsões.
Se a firma prevê queda da taxa, atualize as probabilidades de subida e de queda da taxa apresentadas no item a e utilize esta informação para calcular os retornos esperados das ações 1 e 2.
\section*{DICA: Teorema de Bayes, fazendo A = ‘firma prevê queda’.

Passo 1

Beleza, resumindo: temos duas ações cujos retornos dependem da taxa de juros – se a taxa cai (80 %) a Ação 1 rende 50 % e a Ação 2 rende 30 %; se a taxa sobe (20 %) a Ação 1 rende 30 % e a Ação 2 rende 40 %. No item (a) a gente vai usar o conceito de valor esperado (uma média ponderada dos retornos) pra achar o retorno esperado de cada ação. No item (b) entra uma firma de consultoria que, quando a taxa cai, acerta 80 % das vezes, e quando a taxa sobe, acerta 30 %. Se ela prevê queda, vamos usar o Teorema de Bayes pra atualizar as probabilidades de “cai” ou “sobe” e então recalcular os retornos esperados com essas novas probabilidades.

Passo 2

Para o valor esperado de uma ação usamos
E[R]=sumiPicdot ri,
que aqui vira só dois cenários “Cai” e “Sobe”.
– Ação 1:
E[R1]=P(Cai)cdot50%+P(Sobe)cdot30% =0.8cdot0.5+0.2cdot0.3 =0.44 = 44%
– Ação 2:
E[R2]=0.8cdot0.3+0.2cdot0.4 =0.32 = 32%

Passo 3

Agora, se a firma prevê queda (evento A), a gente quer
P(Caimid A) =P(Amid Cai),P(Cai)P(A)
Sabendo que
P(Amid Cai)=0.8, P(Amid Sobe)=1-0.3=0.7,
a probabilidade total de previsão de queda é
P(A) =0.8cdot0.8+0.7cdot0.2 =0.64+0.14 =0.78
Logo
P(Caimid A) =0.8cdot0.80.78approx0.8205, P(Sobemid A)=1-0.8205approx0.1795

Passo 4

Com essas probabilidades condicionais, recalculamos o valor esperado de cada ação:
E[R1mid A] =0.8205cdot50%+0.1795cdot30% approx46.41%,
E[R2mid A] =0.8205cdot30%+0.1795cdot40% approx31.80%

Resposta

Parte (a): E[R1]=44%, E[R2]=32%.
Parte (b): após a previsão de queda da firma,
E[R1mid A]approx46.41% e E[R2mid A]approx31.80%.

Exercícios relacionados