3- Considere duas alternativas de investimento com ciclos de vida diferentes de uma empresa de cosméticos conforme tabela abaixo. Utilize o método do valor anual para saber qual é a melhor opção. Utilize uma taxa de juros de 12% ao ano (3 pontos)
INVESTIMENTO A INVESTIMENTO B
Custo de aquisição $1.800.000 $ 2.900.000
Custo operacional anual R$150.000/ano, aumentando R$25.000,00 por ano $ 170.000/ano
Receita anual R$700.000,00 R$700.000,00
Vida útil 17 anos 22 anos

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método do valor anual (equivalente anual) para comparar duas alternativas de investimento e decidir qual é a melhor opção, usando taxa de juros de 12\% ao ano. Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
  • Investimento A:
    • Custo de aquisição: R\$1.800.000
    • Custo operacional anual: começa em R\$150.000 no ano 1 e aumenta R\$25.000 a cada ano (ou seja, sequência aritmética: 150.000,\;175.000,\;200.000,\dots por 17 anos)
    • Receita anual: R\$700.000 (constante)
    • Vida útil: 17 anos
  • Investimento B:
    • Custo de aquisição: R\$2.900.000
    • Custo operacional anual: R\$170.000 (constante)
    • Receita anual: R\$700.000 (constante)
    • Vida útil: 22 anos
  • Taxa de juros: i=12\%/ano.
O que preciso calcular: o valor anual líquido (receita anual menos todos os custos equivalentes anuais) de cada investimento e, com isso, decidir qual é a melhor alternativa pelo critério do maior valor anual líquido.

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo didático e fórmulas): para comparar projetos com vidas diferentes usamos equivalentes anuais. A ideia é transformar todo fluxo (compra + custos operacionais) em um único valor anual equivalente durante a vida do projeto. As duas fórmulas principais que vamos usar são:
  1. Fator de recuperação de capital (converte um valor presente P em uma série anual constante A por n anos a taxa i):
\text{CRF}(i,n)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Se eu tenho P hoje, o equivalente anual A é A = P\cdot \text{CRF}(i,n).
  1. Fator de valor presente de uma série uniforme (anuidade): para uma renda anual constante A por n anos, o valor presente é
\left(\frac{P}{A}\right)_{i,n}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  1. Para uma série aritmética (gradiente) em que os pagamentos anuais são A_1, A_1+G, A_1+2G,\dots até n anos, o valor presente pode ser escrito como soma de uma anuidade (com primeiro termo A_1) mais o efeito do gradiente G. A fórmula prática que vou usar (onde A_1 é o pagamento do ano 1 e G o aumento anual) é
P = A_1\left(\frac{P}{A}\right)_{i,n} \;+\; G\cdot \frac{(1+i)^n - i n -1}{i^2(1+i)^n}.
Aqui: P é o valor presente dos custos operacionais, i a taxa e n o número de anos. Explico o que cada termo faz: o primeiro converte a parte constante A_1 para PV; o segundo é a fórmula padrão para o valor presente do gradiente aritmético.
Depois de obter o valor presente P dos custos (incluindo o investimento inicial, se for tratado como custo no tempo zero), converto cada P em equivalente anual com a \text{CRF}(i,n). Em seguida subtraio esse custo anual da receita anual para obter o valor anual líquido.

Passo 3

Vou calcular fatores numéricos necessários: (1+i)^n para os dois projetos.
  • Para i=0{,}12: (1{+}i)^{17}=(1{,}12)^{17}\approx 6{,}8660408872.
(1{+}i)^{22}=(1{,}12)^{22}\approx 12{,}1003100541.
(esses valores foram obtidos elevando 1{,}12 às potências indicadas passo a passo).

Passo 4

Calculo dos fatores de recuperação de capital (CRF) para cada projeto:
  • Para n=17:
\text{CRF}_{17}=\frac{0{,}12\cdot 6{,}8660408872}{6{,}8660408872-1} =\frac{0{,}82392490646}{5{,}8660408872}\approx 0{,}140459.
  • Para n=22:
\text{CRF}_{22}=\frac{0{,}12\cdot 12{,}1003100541}{12{,}1003100541-1} =\frac{1{,}45203720649}{11{,}1003100541}\approx 0{,}130811.
Esses fatores transformam um valor presente P em um equivalente anual A=P\cdot\text{CRF}.

Passo 5

Investimento A — trataremos separadamente aquisição e operação crescente.
(a) Aquisição (valor presente P=R\$1.800.000):
A_{\text{aquisição,A}} = R\$1.800.000\cdot \text{CRF}_{17} =R\$1.800.000\cdot 0{,}140459 \approx R\$252.826,20.çã
(b) Custo operacional de A: é uma série aritmética com A_1=R\$150.000, G=R\$25.000, n=17.
Primeiro calcule o fator \left(\frac{P}{A}\right)_{i,17}:
\left(\frac{P}{A}\right)_{0{,}12,17}=\frac{1-(1{,}12)^{-17}}{0{,}12} \approx \frac{1-0{,}145618}{0{,}12}\approx 7{,}11985.
Agora o fator do gradiente (a parcela multiplicada por G):
F_G=\frac{(1+i)^n - i n -1}{i^2(1+i)^n} =\frac{6{,}8660408872 - 0{,}12\cdot17 -1}{0{,}12^2\cdot 6{,}8660408872} =\frac{3{,}8260408872}{0{,}0988709888}\approx 38{,}698.
Assim o valor presente dos custos operacionais de A é
P_{\text{op,A}}=A_1\left(\frac{P}{A}\right) + G\cdot F_G =150.000\cdot 7{,}11985 + 25.000\cdot 38{,}698.
Calculando:
150.000\cdot 7{,}11985 \approx R\$1.067.977,50,
25.000\cdot 38{,}698 \approx R\$967.450,00,
logo
P_{\text{op,A}}\approx R\$2.035.427,50\\ (\text{aprox. }R\$2.035.428).

Passo 6

Converter P_{\text{op,A}} em equivalente anual usando \text{CRF}_{17}:
A_{\text{op,A}} = P_{\text{op,A}}\cdot \text{CRF}_{17} \approx R\$2.035.427{,}50\cdot 0{,}140459 \approx R\$285.894,25.
Somando aquisição anualizada e operação anualizada temos o custo anual total de A:
A_{\text{custo,total,A}} = R\$252.826{,}20 + R\$285.894{,}25 \approx R\$538.720{,}45.
A receita anual é R\$700.000, então o valor anual líquido (receita menos custos) para A é
A_{\text{líquido,A}} = R\$700.000 - R\$538.720{,}45 \approx R\$161.279{,}55.í

Passo 7

Agora investimento B (mais simples: custo operacional constante).
(a) Aquisição:
A_{\text{aquisição,B}} = R\$2.900.000\cdot \text{CRF}_{22} =R\$2.900.000\cdot 0{,}130811 \approx R\$379.351{,}90.çã
(b) Operação anual é constante R\$170.000, portanto o equivalente anual dos custos operacionais é exatamente R\$170.000.
Custo anual total de B:
A_{\text{custo,total,B}} = R\$379.351{,}90 + R\$170.000 \approx R\$549.351{,}90.
Valor anual líquido de B:
A_{\text{líquido,B}} = R\$700.000 - R\$549.351{,}90 \approx R\$150.648{,}10.í

Passo 8

Comparação final e decisão (explicando o raciocínio curto):
  • Investimento A: valor anual líquido aproximado R\$161.279{,}55.
  • Investimento B: valor anual líquido aproximado R\$150.648{,}10.
Como pelo critério do valor anual escolhemos a alternativa com maior valor anual líquido, a melhor opção é o Investimento A. Força — é comum ficar nervoso com contas, mas seguindo passo a passo dá para tirar essa prova.

Resposta

A_{\text{líquido,A}}\approx R\$161.279{,}55í
A_{\text{líquido,B}}\approx R\$150.648{,}10í
Melhor opção: INVESTIMENTO A (maior valor anual líquido).

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