3- Considere duas alternativas de investimento com ciclos de vida diferentes de uma empresa de cosméticos conforme tabela abaixo. Utilize o método do valor anual para saber qual é a melhor opção. Utilize uma taxa de juros de 12% ao ano (3 pontos)
INVESTIMENTO A
INVESTIMENTO B
Custo de aquisição
$1.800.000
$ 2.900.000
Custo operacional anual
R$150.000/ano, aumentando R$25.000,00 por ano
$ 170.000/ano
Receita anual
R$700.000,00
R$700.000,00
Vida útil
17 anos
22 anos
| INVESTIMENTO A | INVESTIMENTO B | |
| Custo de aquisição | $1.800.000 | $ 2.900.000 |
| Custo operacional anual | R$150.000/ano, aumentando R$25.000,00 por ano | $ 170.000/ano |
| Receita anual | R$700.000,00 | R$700.000,00 |
| Vida útil | 17 anos | 22 anos |
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método do valor anual (equivalente anual) para comparar duas alternativas de investimento e decidir qual é a melhor opção, usando taxa de juros de
ao ano. Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
- Investimento A:
- Custo de aquisição:
- Custo operacional anual: começa em
no ano 1 e aumenta a cada ano (ou seja, sequência aritmética: por anos) - Receita anual:
(constante) - Vida útil:
anos
- Custo de aquisição:
- Investimento B:
- Custo de aquisição:
- Custo operacional anual:
(constante) - Receita anual:
(constante) - Vida útil:
anos
- Custo de aquisição:
- Taxa de juros:
.
O que preciso calcular: o valor anual líquido (receita anual menos todos os custos equivalentes anuais) de cada investimento e, com isso, decidir qual é a melhor alternativa pelo critério do maior valor anual líquido.
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo didático e fórmulas): para comparar projetos com vidas diferentes usamos equivalentes anuais. A ideia é transformar todo fluxo (compra + custos operacionais) em um único valor anual equivalente durante a vida do projeto. As duas fórmulas principais que vamos usar são:
- Fator de recuperação de capital (converte um valor presente
em uma série anual constante por anos a taxa ):
Se eu tenho
hoje, o equivalente anual
é
.
- Fator de valor presente de uma série uniforme (anuidade): para uma renda anual constante
por anos, o valor presente é
- Para uma série aritmética (gradiente) em que os pagamentos anuais são
até anos, o valor presente pode ser escrito como soma de uma anuidade (com primeiro termo ) mais o efeito do gradiente . A fórmula prática que vou usar (onde é o pagamento do ano 1 e o aumento anual) é
Aqui:
é o valor presente dos custos operacionais,
a taxa e
o número de anos. Explico o que cada termo faz: o primeiro converte a parte constante
para PV; o segundo é a fórmula padrão para o valor presente do gradiente aritmético.
Depois de obter o valor presente
dos custos (incluindo o investimento inicial, se for tratado como custo no tempo zero), converto cada
em equivalente anual com a
. Em seguida subtraio esse custo anual da receita anual para obter o valor anual líquido.
Passo 3
Vou calcular fatores numéricos necessários:
para os dois projetos.
- Para
:
(esses valores foram obtidos elevando
às potências indicadas passo a passo).
Passo 4
Calculo dos fatores de recuperação de capital (CRF) para cada projeto:
- Para
:
- Para
:
Esses fatores transformam um valor presente
em um equivalente anual
.
Passo 5
Investimento A — trataremos separadamente aquisição e operação crescente.
(a) Aquisição (valor presente
):
(b) Custo operacional de A: é uma série aritmética com
,
,
.
Primeiro calcule o fator :
Primeiro calcule o fator
Agora o fator do gradiente (a parcela multiplicada por
):
Assim o valor presente dos custos operacionais de A é
Calculando:
logo
Passo 6
Converter
em equivalente anual usando
:
Somando aquisição anualizada e operação anualizada temos o custo anual total de A:
A receita anual é
, então o valor anual líquido (receita menos custos) para A é
Passo 7
Agora investimento B (mais simples: custo operacional constante).
(a) Aquisição:
(b) Operação anual é constante
, portanto o equivalente anual dos custos operacionais é exatamente
.
Custo anual total de B:
Valor anual líquido de B:
Passo 8
Comparação final e decisão (explicando o raciocínio curto):
- Investimento A: valor anual líquido aproximado
. - Investimento B: valor anual líquido aproximado
.
Como pelo critério do valor anual escolhemos a alternativa com maior valor anual líquido, a melhor opção é o Investimento A. Força — é comum ficar nervoso com contas, mas seguindo passo a passo dá para tirar essa prova.
Resposta
Melhor opção: INVESTIMENTO A (maior valor anual líquido).