2- Uma empresa que fabrica peças de plástico comprou uma nova injetora. O custo inicial foi de R$
sendo R$
no ato e R$
no início do segundo ano. Os custos anuais são de
250.000,00
600.000,00$ anuais a partir do segundo ano, aumentando R$
ao ano a partir do terceiro ano. Não há valor recuperado no final da vida útil de 15 anos. Qual é a TIR do projeto? (
pontos)
Passo 1
O enunciado pede a TIR do projeto (taxa interna de retorno anual que zera o VPL). Dados fornecidos (vou representar todos os números em reais e períodos em anos):
- Custo total da injetora:
, pago em duas parcelas: -
no ato (início, isto é, tempo ); -
no início do segundo ano (isto é, tempo ).
-
- Custos operacionais anuais:
a partir do primeiro ano (vou entender como custos anuais periódicos ocorrendo ao final de cada ano, isto é, em ). - Receitas (ganhos) anuais:
a partir do segundo ano (isto é, primeiro recebimento em ), e a partir do terceiro ano aumentam por ano (ou seja, escala aritmética: em , em , em , ). - Vida útil:
anos. Não há valor residual no final.
Pergunta: Qual é a TIR (anual) do projeto?
Passo 2
Vou explicar e fixar a convenção de tempos (importante para montar os fluxos):
-
corresponde ao momento atual (pagamento imediato de ). -
corresponde ao início do segundo ano (pagamento de ) e também é o fim do primeiro ano, onde ocorre o custo operacional do primeiro ano ( ). Portanto, em há dois desembolsos que posso somar. - Receitas começam em
e vão até . - Custos operacionais de
ocorrem anualmente em .
Com isso tudo, consigo montar cada fluxo anual e a equação da TIR.
Passo 3
Monte os fluxos de caixa líquidos por ano (entrada positiva, saída negativa).
-
compra inicial . -
parcela da compra + custo anual . - Para
(do ano 2 até o 15) temos receita crescente e custo fixo . A receita em é Logo o fluxo líquido em é - Podemos listar os primeiros termos para ficar claro:
Passo 4
Definição da TIR: a TIR
é a taxa que satisfaz
Substituindo os fluxos:
Vou transformar a soma dos termos
em uma forma tratável usando séries geométrica e aritmético-geométrica, para depois resolver numericamente por iteração/interpolação.
Passo 5
Manipulação algébrica útil. Defina
. Então a soma dos termos
a
pode ser reindexada com
(então
):
Separe em duas somas:
As duas somas conhecidas:
- Soma geométrica finita:
- Soma aritmético-geométrica (fórmula padrão):
Aqui
. Assim a equação do VPL
vira, em função de
,
Isso é uma equação não-linear em
(portanto em
); vou resolver numericamente avaliando o VPL para algumas taxas e interpolando.
Passo 6
Avaliação numérica: cálculo do VPL para
(teste inicial, ver se VPL positivo ou negativo).
-
. - Calculei as somas (usando as fórmulas acima):
- Então a parte dos fluxos
tem valor presente - Descontando os desembolsos iniciais:
Portanto em
o VPL é positivo; a TIR será maior que
.
Passo 7
Avaliação numérica em
(outro ponto para delimitar a raiz):
-
. - As somas dão aproximadamente:
- PV dos fluxos
: - Descontando os desembolsos:
Aqui o VPL é negativo, logo a TIR está entre
e
.
Passo 8
Interpolação linear (regra de três) para aproximar a TIR entre
e
.
- Em
, . - Em
, .
Interpolo:
Para maior precisão refinei com uma segunda avaliação perto de
e
:
- Em
obtive . - Em
obtive .
Interpolando entre esses dois pontos (faixa pequena) obtemos uma raiz muito próxima de
Essa é a TIR aproximada com arredondamento a dois casas decimais percentuais.