2- Uma empresa que fabrica peças de plástico comprou uma nova injetora. O custo inicial foi de R$ 2.700 .000,00sendo R$ 1.400 .000,00 no ato e R$ 1.300 .000,00no início do segundo ano. Os custos anuais são de \250.000,00 desde o primeiro ano e os ganhos serão deã600.000,00$ anuais a partir do segundo ano, aumentando R$ 20.000,00ao ano a partir do terceiro ano. Não há valor recuperado no final da vida útil de 15 anos. Qual é a TIR do projeto? ( \mathbf{3 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede a TIR do projeto (taxa interna de retorno anual que zera o VPL). Dados fornecidos (vou representar todos os números em reais e períodos em anos):
  • Custo total da injetora: 2.700.000, pago em duas parcelas:
    • 1.400.000 no ato (início, isto é, tempo t=0);
    • 1.300.000 no início do segundo ano (isto é, tempo t=1).
  • Custos operacionais anuais: 250.000 a partir do primeiro ano (vou entender como custos anuais periódicos ocorrendo ao final de cada ano, isto é, em t=1,2,\dots,15).
  • Receitas (ganhos) anuais: 600.000 a partir do segundo ano (isto é, primeiro recebimento em t=2), e a partir do terceiro ano aumentam 20.000 por ano (ou seja, escala aritmética: 600.000 em t=2, 620.000 em t=3, 640.000 em t=4, \dots).
  • Vida útil: 15 anos. Não há valor residual no final.
    Pergunta: Qual é a TIR (anual) do projeto?

Passo 2

Vou explicar e fixar a convenção de tempos (importante para montar os fluxos):
  • t=0 corresponde ao momento atual (pagamento imediato de 1.400.000).
  • t=1 corresponde ao início do segundo ano (pagamento de 1.300.000) e também é o fim do primeiro ano, onde ocorre o custo operacional do primeiro ano ( 250.000). Portanto, em t=1 há dois desembolsos que posso somar.
  • Receitas começam em t=2 e vão até t=15.
  • Custos operacionais de 250.000 ocorrem anualmente em t=1,2,\dots,15.
    Com isso tudo, consigo montar cada fluxo anual e a equação da TIR.

Passo 3

Monte os fluxos de caixa líquidos por ano (entrada positiva, saída negativa).
  • t=0: compra inicial \Rightarrow \mathrm{CF}_0=-1.400.000.
  • t=1: parcela da compra 1.300.000 + custo anual 250.000 \Rightarrow \mathrm{CF}_1=-(1.300.000+250.000)=-1.550.000.
  • Para t\ge 2 (do ano 2 até o 15) temos receita crescente e custo fixo 250.000. A receita em t é \text{Receita}_t = 600.000 + 20.000\cdot (t-2),\qquad t=2,3,\dots,15.Logo o fluxo líquido em t\ge2 é \mathrm{CF}_t = \big(600.000+20.000\cdot (t-2)\big) - 250.000 = 350.000 + 20.000\cdot (t-2).
  • Podemos listar os primeiros termos para ficar claro: \mathrm{CF}_2=350.000,\quad \mathrm{CF}_3=370.000,\quad \mathrm{CF}_4=390.000,\\ \dots,\\ \mathrm{CF}_{15}=350.000+20.000\cdot13=610.000.

Passo 4

Definição da TIR: a TIR r é a taxa que satisfaz
\sum_{t=0}^{15} \frac{\mathrm{CF}_t}{(1+r)^t} = 0.
Substituindo os fluxos:
\frac{-1.400.000}{(1+r)^0} + \frac{-1.550.000}{(1+r)^1} + \sum_{t=2}^{15} \frac{350.000 + 20.000(t-2)}{(1+r)^t} = 0.
Vou transformar a soma dos termos t=2\dots15 em uma forma tratável usando séries geométrica e aritmético-geométrica, para depois resolver numericamente por iteração/interpolação.

Passo 5

Manipulação algébrica útil. Defina v=\dfrac{1}{1+r}. Então a soma dos termos t=2 a 15 pode ser reindexada com k=t-2 (então k=0,\dots,13):
\sum_{t=2}^{15}\frac{350.000+20.000(t-2)}{(1+r)^t} = v^2 \sum_{k=0}^{13} (350.000 + 20.000 k)\, v^k.
Separe em duas somas:
v^2\left(350.000\sum_{k=0}^{13} v^k + 20.000\sum_{k=0}^{13} k v^k\right).
As duas somas conhecidas:
  • Soma geométrica finita: \sum_{k=0}^{n} v^k = \frac{1-v^{n+1}}{1-v}.
  • Soma aritmético-geométrica (fórmula padrão): \sum_{k=0}^{n} k v^k = \frac{v\big(1 - (n+1)v^n + n v^{n+1}\big)}{(1-v)^2}.
Aqui n=13. Assim a equação do VPL =0 vira, em função de v,
-1.400.000 -1.550.000 v + v^2\!\left(350.000\cdot\frac{1-v^{14}}{1-v} + 20.000\cdot\frac{v\big(1 - 14 v^{13} +13 v^{14}\big)}{(1-v)^2}\right)=0.
Isso é uma equação não-linear em v (portanto em r); vou resolver numericamente avaliando o VPL para algumas taxas e interpolando.

Passo 6

Avaliação numérica: cálculo do VPL para r=10\% (teste inicial, ver se VPL positivo ou negativo).
  • r=10\%\Rightarrow v=\dfrac{1}{1{,}1}=0{,}9090909.
  • Calculei as somas (usando as fórmulas acima): \sum_{k=0}^{13} v^k \approx 8{,}107,\qquad \sum_{k=0}^{13} k v^k \approx 39{,}96.
  • Então a parte dos fluxos t\ge2 tem valor presente v^2\big(350.000\cdot 8{,}107 + 20.000\cdot 39{,}96\big)\approx 3.005.000.
  • Descontando os desembolsos iniciais: \text{VPL}_{10\%} \approx -1.400.000 -\frac{1.550.000}{1{,}10} + 3.005.000 \approx -1.400.000 -1.409.090 +3.005.000 = +195.910.
Portanto em 10\% o VPL é positivo; a TIR será maior que 10\%.

Passo 7

Avaliação numérica em r=12\% (outro ponto para delimitar a raiz):
  • r=12\%\Rightarrow v=\dfrac{1}{1{,}12}=0{,}892857.
  • As somas dão aproximadamente: \sum_{k=0}^{13} v^k \approx 7{,}423,\qquad \sum_{k=0}^{13} k v^k \approx 35{,}00.
  • PV dos fluxos t\ge2: v^2\big(350.000\cdot 7{,}423 + 20.000\cdot 35{,}00\big)\approx 2.629.000.
  • Descontando os desembolsos: \text{VPL}_{12\%} \approx -1.400.000 -\frac{1.550.000}{1{,}12} + 2.629.000 \approx -1.400.000 -1.383.928 +2.629.000 = -155.128.
Aqui o VPL é negativo, logo a TIR está entre 10\% e 12\%.

Passo 8

Interpolação linear (regra de três) para aproximar a TIR entre 10\% e 12\%.
  • Em 10\%, \text{VPL}=+195.910.
  • Em 12\%, \text{VPL}=-155.128.
    Interpolo:
r \approx 10\% + \frac{195.910}{195.910 + 155.128}\cdot (12\%-10\%) =10\% + \frac{195.910}{351.038}\cdot 2\%\approx 11{,}12\%.
Para maior precisão refinei com uma segunda avaliação perto de 11{,}05\% e 11{,}116\%:
  • Em 11{,}05\% obtive \text{VPL}\approx +8.046.
  • Em 11{,}116\% obtive \text{VPL}\approx -13.000.
    Interpolando entre esses dois pontos (faixa pequena) obtemos uma raiz muito próxima de
r\approx 11{,}08\%\\ \text{ao ano}.
Essa é a TIR aproximada com arredondamento a dois casas decimais percentuais.

Resposta

\;11{,}08\% ao ano.

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