1- Você é o responsável pelo estudo de viabilidade financeira de um novo forno de uma fábrica vidro para a fabricação de copos. Suponha que o custo inicial do projeto seja de R$4.200.000,00 com custos de O&M de R$ 240.000,00 ao ano já no primeiro ano, aumentando R$10.000,00 por ano a partir do quinto ano. Considerando que a receita seja de R$ 800.000,00 por ano já a partir do primeiro ano, que o projeto tenha 20 anos de ciclo de vida e que o valor recuperado seja de R$500.000,00, qual é o VPL considerando uma taxa de
ao ano? (
pontos)
Passo 1
O problema pede o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto do forno, ou seja, o valor atual de todas as entradas e saídas de caixa ao longo dos
anos, descontadas à taxa de
ao ano, subtraindo o investimento inicial.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Objetivo numérico final: calcular
onde
é o fluxo líquido no ano
(receita menos O&M).
Passo 2
Plano de resolução (só para organizar; não é a resolução técnica ainda):\n
- calcular o fator de desconto unitário
;\n - calcular o valor presente das receitas anuais (renda constante
por anos) usando a fórmula da anuidade;\n - calcular o valor presente dos custos O&M: notar que há uma parte constante (
por anos) e uma parte crescente (um gradiente aritmético que começa no ano 5 com incremento de por ano); usar soma geométrica e fórmula do gradiente para obter o PV dessa parte crescente;\n - descontar o valor de recuperação (salvamento) ao final do ano 20;\n
- somar tudo e subtrair o investimento inicial para obter o VPL.\n
Agora vamos executar passo a passo, explicando as fórmulas usadas.
Passo 3
Calcular
e fator de anuidade para
anos.\n
Definição: é o fator de desconto de um período:
Definição:
Fórmula da anuidade (valor presente de uma renda constante
por
anos, taxa
):
Aqui
,
,
. Primeiro calculamos
. Usando cálculos:
Então o fator de anuidade é
Logo o valor presente das receitas é
Passo 4
Calcular o valor presente da parte constante dos custos O&M (
por ano, anos
a
).\n
Usamos a mesma fórmula de anuidade com . Então:
Usamos a mesma fórmula de anuidade com
Passo 5
Tratar a parte crescente dos O&M (incremento anual de
por ano a partir do ano 5).\n
Observação: nos anos não há incremento; a partir de
o custo é
. Portanto a componente incremental (além dos
base) é, para
, um termo
com
(onde
).\n
Precisamos do valor presente
Observação: nos anos
Precisamos do valor presente
Fator técnico: existe uma fórmula fechada para a soma
que é (para
):
Aqui usamos
e
. Depois multiplicamos por
para ter
. Vou explicar as variáveis:
é o índice do ano relativo ao início do gradiente,
é o fator de desconto por ano, e
é o número de termos do gradiente (anos 5 a 20 => 16 anos).\n
Agora calculamos numericamente: já temos . Usando a fórmula com
:
Agora calculamos numericamente: já temos
(eu obtive isso substituindo
e fazendo as operações; o cálculo foi mostrado no raciocínio técnico). Então
Calculando
:
então
Multiplicando pelo montante incremental
:
Passo 6
Somar os componentes dos custos O&M:\n
Passo 7
Calcular o valor presente do salvamento (recuperação) no final do ano 20:\n
Usando
,
Passo 8
Calcular o VPL juntando tudo:\n
Valor presente das receitas: (Passo 3).\n
Valor presente total dos custos O&M: (Passo 6).\n
Valor presente do salvamento: (Passo 7).\n
Investimento inicial: .\n
Agora:
Valor presente das receitas:
Valor presente total dos custos O&M:
Valor presente do salvamento:
Investimento inicial:
Agora:
Fazendo as somas/subtrações:
(Arredondei os intermediários com cuidado; dependendo de arredondamentos locais o resultado pode variar algumas dezenas de reais; com os valores usados acima o VPL fica cerca de
— temos aqui
por pequenas diferenças de arredondamento nas etapas.)]
Resposta
R$,290.481,64