Considere alpha=(-1,0),(1,1) e beta=(-1,-1),(0,-1) duas bases de R^2. Encontre a matriz mudança da base alpha para a base beta.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas bases alpha=(-1,0),(1,1) e beta=(-1,-1),(0,-1) de R^2 e queremos a matriz de mudança de base de alpha para beta. Para isso, vamos expressar cada vetor da base alpha em coordenadas da base beta.

Passo 2

Sejam
a1 = (-1,0), a2 = (1,1)
os vetores de alpha, e
b1 = (-1,-1), b2 = (0,-1)
os vetores de beta.

Passo 3

Para encontrar [a1]beta, escrevemos
a1 = c1,b1 + c2,b2,
ou seja,
(-1,0) = c1(-1,-1)+c2(0,-1) = (-c1,,-c1-c2)
Comparando componentes:
-c1 = -1implies c1=1, -c1 - c2 = 0implies -1 - c2 = 0implies c2=-1
Logo
[a1]beta = 1 -1

Passo 4

Para [a2]beta, colocamos
a2 = d1,b1 + d2,b2,
isto é,
(1,1) = d1(-1,-1)+d2(0,-1) = (-d1,,-d1-d2)
Daí
-d1 = 1implies d1=-1, -d1 - d2 = 1implies 1 - d2 = 1implies d2=0
Portanto
[a2]beta = -1 0

Passo 5

A matriz de mudança de base de alpha para beta tem como colunas [a1]beta e [a2]beta. Assim,
Pbetaalpha = 1 & -1 -1 & 0

Resposta

1 & -1 -1 & 0

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