Para quais valores reais lambda, os seguintes vetores formam um conjunto linearmente independente?
v1=(lambda,-12,-12), v2=(-12, lambda,-12), v3=(-12,-12, lambda)

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de lambda os vetores
v1=(lambda,-tfrac12,-tfrac12), v2=(-tfrac12,lambda,-tfrac12), v3=(-tfrac12,-tfrac12,lambda)
são linearmente independentes. O conteúdo aqui é que, em R^3, três vetores são LI se, e somente se, a matriz formada por eles tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são v1,v2,v3:
A = lambda & -tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12 & lambda & -tfrac12 -tfrac12 & -tfrac12 & lambda
Logo, v1,v2,v3 são linearmente independentes exatamente quando
det(A)neq 0

Passo 3

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha. Definimos os menores:
M11 = detlambda & -tfrac12[6pt] -tfrac12 & lambda = lambda^2 - tfrac14,
M12 = det-tfrac12 & -tfrac12[3pt] -tfrac12 & lambda = -tfraclambda2 - tfrac14,
M13 = det-tfrac12 & lambda[3pt] -tfrac12 & -tfrac12 = tfrac14 + tfraclambda2
Portanto,
det(A) = lambda,M11 -(-tfrac12),M12 +(-tfrac12),M13 = lambda(lambda^2 - tfrac14) -(-tfrac12)l(-tfraclambda2-tfrac14r) +(-tfrac12)l(tfrac14 + tfraclambda2r) = lambda^3 - tfrac34lambda - tfrac14 ]

Passo 4

Para fatorar o polinômio p(lambda)=lambda^3 - tfrac34lambda - tfrac14, notamos que
p(1)=1 - tfrac34 - tfrac14 = 0,
logo lambda-1 é fator. Dividindo ou reconhecendo a soma, obtemos
lambda^3 - tfrac34lambda - tfrac14 = (lambda - 1)l(lambda^2 + lambda + tfrac14r) = (lambda - 1)l(lambda + tfrac12r)^2

Passo 5

Concluímos que
det(A) = (lambda - 1)l(lambda + tfrac12r)^2 neq 0 Long<=ftrightarrow lambda neq 1 e lambda neq -tfrac12
Portanto, os vetores são linearmente independentes para todos os lambdainR exceto lambda=1 e lambda=-tfrac12.

Resposta

lambdainRsetminus1,,-tfrac12

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