Considere T: R^2 R^2 tal que
[T]=[rr -1 & -2 0 & 1 ]
Ache os vetores u e v tais que
T(v)=-v

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^2toR^2 com matriz, na base canônica,
[T]=-1 & -2[6pt]0 & 1
e pede vetores próprios u e v tais que
T(u)=u e T(v)=-v
Isso significa que queremos os autovalores lambda=1 e lambda=-1 e seus respectivos autovetores.]

Passo 2

Determinamos o polinômio característico de T resolvendo
detl([T]-lambda Ir) =det-1-lambda & -2[4pt]0 & 1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)=0
As raízes são lambda1=1 e lambda2=-1.]

Passo 3

Para resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Logo podemos escolher
que satisfaz .]

Passo 4

Para resolvemos
Das equações obtemos e , portanto e livre. Escolhemos
que satisfaz .]

Passo 5

Concluímos que vetores próprios para os autovalores lambda=1 e lambda=-1 são, respectivamente,
u=1-1, v=10

Resposta

u=(1,-1)^T e v=(1,0)^T.

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