Considere duas cascas esféricas concêntricas em que a diferença entre o raio da casca externa
e da casca interna
é
. Admita que a casca interna está uniformemente carregada com densidade superficial de carga
, enquanto que a mais externa está uniformemente carregada com
.De posse dessas informações, determine a capacitância da região entre as cargas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas esféricas que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro. A diferença entre os raios delas é
. A casca interna tem uma densidade superficial de carga
, e a externa tem
. Nosso objetivo aqui é encontrar a capacitância da região entre essas duas cascas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a capacitância (
) de um capacitor é uma medida de quanto carga pode ser armazenada por unidade de potencial. A fórmula geral para capacitância é
, onde
é a carga e
é a diferença de potencial entre as duas placas (no nosso caso, as cascas esféricas).
Passo 3
Vamos determinar a carga
na casca interna. A densidade superficial de carga
é a carga por unidade de área. Como a casca interna é esférica, a área (
) dela é
. Então, a carga total é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial
entre as duas cascas. Para isso, usamos a fórmula do potencial elétrico devido a uma casca esférica:
Para a casca interna:
Para a casca externa (que tem carga
):
A diferença de potencial
é
:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula da capacitância
:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão reconhecendo que a diferença
:
Resposta
A capacitância da região entre as cargas é: