Considere duas cascas esféricas finas, concêntricas, condutoras. A casca interna tem raio a=15 cm e carga 10 nC . A casca externa tem raio b=30 cm e carga -15 nC . Forneça expressões para o campo elétrico e o potencial elétrico para a região: 15 cm. Em todos os casos, considere V=0 em r=infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para achar o campo elétrico e o potencial no espaço entre duas cascas metálicas esféricas concêntricas, sendo:
• casca interna de raio , carga
• casca externa de raio , carga
Conteúdo da matéria: eletrostática (Lei de Gauss para campo elétrico, definição de potencial elétrico via integração de ).
O que vamos precisar:
  1. Aplicar Lei de Gauss numa superfície esférica de raio com .
  2. Usar e integrar para achar .

Passo 2

Campo elétrico oint Ecdot d A = Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 para E(r) = 14pivarepsilon0;Q1r^2 para a:
  1. Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio , com .
  2. Por simetria, é radial e constante em módulo nessa esfera.
  3. Lei de Gauss:
  1. Qual a carga interna ? Como estamos entre as cascas, só “enxergamos” a casca interna com .
  2. Logo

Passo 3

Potencial elétrico V(r)-V(infty) = -integralinfty^r Ecdot d l para Erm fora(r)=14pivarepsilon0,Q1+Q2r^2 :
Definição:
Erm entre(r)=14pivarepsilon0,Q1r^2
Como V(r) = -integralinfty^bErm fora,dr - integralb^rErm entre,dr = 14pivarepsilon0[ Q1+Q2b ;+;Q1(1r-1b)] , fazemos a integral em duas etapas (mudança de expressão de V(r) = 14pivarepsilon0(Q1r + Q2b) em ):
  1. De até : para , o campo é gerado pela carga total , ou seja
  1. De até : para , só conta , então
Fazendo a integral:
Agrupando termos:

Resposta

Para boxedE(r)=14pivarepsilon0,10times10^-9r^2 , V(r)=14pivarepsilon0(10times10^-9r ;+;-15times10^-90,30) :

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