Considere o modelo logístico
P^{\prime}=k P\left(1-\frac{P}{L}\right),
onde L é a capacidade de suporte do ambiente. Em uma cultura controlada, sabese que a capacidade máxima do meio é L=10^{6} bactérias e que inicialmente há P(0)=10^{3} bactérias. Após 2 horas, observa-se P(2)=4000 bactérias.
(a) Determine a constante de crescimento k.
(b) Encontre a solução geral P(t).
(c) Estime a população após 6 horas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Equação diferencial logística dada: P' = k\,P\!\left(1-\frac{P}{L}\right).
  • Dados fornecidos:
    • Capacidade de suporte: \;L=10^{6} (bactérias).
    • Condição inicial: \;P(0)=10^{3} (bactérias).
    • Observação em t=2 horas: \;P(2)=4000 (bactérias).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a constante de crescimento \;k;
    (b) encontrar a solução geral P(t) apropriada ao problema (com constantes determinadas pelos dados);
    (c) estimar a população após 6 horas, isto é P(6).

Passo 2

Vamos resolver a equação logística de forma geral (passo-a-passo, explicando cada técnica).
A equação é P' = k\,P\!\left(1-\frac{P}{L}\right).
Primeiro reescrevo para separar variáveis: multiplico e divido convenientemente para obter dP de um lado e dt do outro. Note que
P'= \frac{dP}{dt} = \frac{k}{L}\,P(L-P).
Logo
\frac{dP}{P(L-P)} = \frac{k}{L}\,dt.
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo uso frações parciais. A ideia é escrever
\frac{1}{P(L-P)}=\frac{1}{L}\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{L-P}\right),
porque ao somar os termos do parêntese obtemos \dfrac{L}{P(L-P)} e dividido por L dá o que queremos. Então
\int \frac{dP}{P(L-P)} = \frac{1}{L}\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{L-P}\right)dP.
Integrando:
\frac{1}{L}\big(\ln|P| - \ln|L-P|\big) = \frac{k}{L}t + C,
onde C é constante de integração. Multiplico ambos os lados por L e combino os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{P}{\,L-P\,}\right) = k t + C_1,
com C_1 = L C. Exponenciando:
\frac{P}{L-P} = C e^{k t},
onde C = e^{C_1} é constante positiva (assumimos 0<P<L no início, então razões positivas). Agora resolvo para P:
P = \frac{L C e^{k t}}{1 + C e^{k t}}.
É comum reescrever essa solução como
P(t) = \frac{L}{1 + A e^{-k t}},
onde A = C^{-1}. Essa forma é útil para aplicar condições iniciais.
(Explicação curta do que fiz: separei variáveis, usei frações parciais para integrar \int dP/(P(L-P)), usei logaritmo e exponenciei; passo padrão para a equação logística.)

Passo 3

Aplicar a condição inicial P(0)=10^{3} para achar A.
A forma utilizada é P(t)=\frac{L}{1 + A e^{-k t}}.
Em t=0:
P(0)=\frac{L}{1+A}=10^{3}.
Isolando A:
1+A=\frac{L}{10^{3}}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{L}{10^{3}}-1.
Substituo L=10^{6}:
A=\frac{10^{6}}{10^{3}}-1=1000-1=999.
Portanto a solução tem a constante A=999. Assim
P(t)=\frac{10^{6}}{1+999\,e^{-k t}}.

Passo 4

Usar a observação P(2)=4000 para determinar k.
Substituo t=2 e P(2)=4000 na expressão:
4000=\frac{10^{6}}{1+999\,e^{-2k}}.
Reescrevo para isolar e^{-2k}. Primeiro inverto:
\frac{1}{4000}=\frac{1+999\,e^{-2k}}{10^{6}}.
Multiplicando por 10^{6}:
\frac{10^{6}}{4000}=1+999\,e^{-2k}.
Calculo \dfrac{10^{6}}{4000}: \frac{10^{6}}{4000}=\frac{10^{6}}{4\cdot10^{3}}=\frac{10^{3}}{4}=250.
Logo
250 = 1 + 999\,e^{-2k}\quad\Rightarrow\quad 999\,e^{-2k}=249.
Isolando e^{-2k}:
e^{-2k}=\frac{249}{999}=\frac{83}{333}.
Agora aplico logaritmo natural para achar k:
-2k=\ln\!\left(\frac{83}{333}\right)\quad\Rightarrow\quad k=-\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{83}{333}\right).
Posso também escrever em forma positiva:
k=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{333}{83}\right).

Passo 5

Calcular numericamente k (valor prático para usar em (b) e (c)).
Faço a conta do logaritmo:
k=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{333}{83}\right).
Aproximando numericamente:
\frac{333}{83}\approx 4,012048\quad\Rightarrow\quad \ln(4,012048)\approx 1,389300.
Logo
k\approx \tfrac{1}{2}\cdot 1,389300 \approx 0,694650.
Portanto a constante de crescimento é aproximadamente \;k\approx 0,69465 (por hora).

Passo 6

Escrever a solução completa P(t) com A e k determinados.
Temos A=999,\qquad k=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{333}{83}\right)\approx 0,69465.
Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
P(t)=\frac{10^{6}}{1+999\,e^{-k t}}.
Se quiser substituir o valor numérico de k:
P(t)\approx \frac{10^{6}}{1+999\,e^{-0,69465\,t}}.
Essa fórmula dá a população prevista em qualquer tempo t em horas.

Passo 7

Estimar P(6) (população após 6 horas) usando a fórmula.
Uso P(6)=\dfrac{10^{6}}{1+999\,e^{-6k}}. É prático usar a relação já encontrada para e^{-2k}:
e^{-2k}=\frac{83}{333}.
Então
e^{-6k}=(e^{-2k})^{3}=\left(\frac{83}{333}\right)^{3}=\frac{571\,787}{36\,926\,037}\approx 0,015486.
Multiplico por 999:
999\,e^{-6k}\approx 999\cdot 0,015486\approx 15,4705.
Logo o denominador é aproximadamente 1+15,4705=16,4705. Assim
P(6)\approx\frac{10^{6}}{16,4705}\approx 60\,720\\ \text{bactérias}é
(arredondando para inteiro faz sentido pois população em bactérias é contagem). Um cálculo mais preciso dá cerca de 60\,719, então arredondando: P(6)\approx 60{,}720.

Passo 8

Resumo interpretativo curto (ânimo): o crescimento inicial é rápido (k perto de 0,695 por hora, parecido com uma duplicação por ~1 hora), mas a capacidade L=10^{6} vai limitar o crescimento. A previsão para 6 horas é cerca de 6{,}0\times10^{4} bactérias — muito maior que o início, mas ainda bem abaixo da capacidade.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{333}{83}\right)\approx 0,69465\\ \text{h}^{-1}
(b) P(t)=\dfrac{10^{6}}{1+999\,e^{-k t}} com k do item (a) (ou P(t)\approx\dfrac{10^{6}}{1+999\,e^{-0,69465\,t}})
(c) P(6)\approx 60\,720 (bactérias)

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