Considere o modelo logístico
onde
é a capacidade de suporte do ambiente. Em uma cultura controlada, sabese que a capacidade máxima do meio é
bactérias e que inicialmente há
bactérias. Após 2 horas, observa-se
bactérias.
(a) Determine a constante de crescimento
.
(b) Encontre a solução geral
.
(c) Estime a população após 6 horas.
(a) Determine a constante de crescimento
(b) Encontre a solução geral
(c) Estime a população após 6 horas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Equação diferencial logística dada:
- Dados fornecidos:
- Capacidade de suporte:
(bactérias). - Condição inicial:
(bactérias). - Observação em
horas: (bactérias).
- Capacidade de suporte:
- O enunciado pede:
(a) determinar a constante de crescimento;
(b) encontrar a solução geralapropriada ao problema (com constantes determinadas pelos dados);
(c) estimar a população após 6 horas, isto é.
Passo 2
Vamos resolver a equação logística de forma geral (passo-a-passo, explicando cada técnica).
A equação é
Primeiro reescrevo para separar variáveis: multiplico e divido convenientemente para obter
de um lado e
do outro. Note que
Logo
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo uso frações parciais. A ideia é escrever
porque ao somar os termos do parêntese obtemos
e dividido por
dá o que queremos. Então
Integrando:
onde
é constante de integração. Multiplico ambos os lados por
e combino os logaritmos:
com
. Exponenciando:
onde
é constante positiva (assumimos
no início, então razões positivas). Agora resolvo para
:
É comum reescrever essa solução como
onde
. Essa forma é útil para aplicar condições iniciais.
(Explicação curta do que fiz: separei variáveis, usei frações parciais para integrar
, usei logaritmo e exponenciei; passo padrão para a equação logística.)
Passo 3
Aplicar a condição inicial
para achar
.
A forma utilizada é
Em
:
Isolando
:
Substituo
:
Portanto a solução tem a constante
. Assim
Passo 4
Usar a observação
para determinar
.
Substituo
e
na expressão:
Reescrevo para isolar
. Primeiro inverto:
Multiplicando por
:
Calculo
:
Logo
Isolando
:
Agora aplico logaritmo natural para achar
:
Posso também escrever em forma positiva:
Passo 5
Calcular numericamente
(valor prático para usar em (b) e (c)).
Faço a conta do logaritmo:
Aproximando numericamente:
Logo
Portanto a constante de crescimento é aproximadamente
(por hora).
Passo 6
Escrever a solução completa
com
e
determinados.
Temos
Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
Se quiser substituir o valor numérico de
:
Essa fórmula dá a população prevista em qualquer tempo
em horas.
Passo 7
Estimar
(população após 6 horas) usando a fórmula.
Uso
. É prático usar a relação já encontrada para
:
Então
Multiplico por
:
Logo o denominador é aproximadamente
. Assim
(arredondando para inteiro faz sentido pois população em bactérias é contagem). Um cálculo mais preciso dá cerca de
, então arredondando:
.
Passo 8
Resumo interpretativo curto (ânimo): o crescimento inicial é rápido (k perto de 0,695 por hora, parecido com uma duplicação por ~1 hora), mas a capacidade
vai limitar o crescimento. A previsão para 6 horas é cerca de
bactérias — muito maior que o início, mas ainda bem abaixo da capacidade.
Resposta
(a)
(b) com
do item (a) (ou
)
(c) (bactérias)
(b)
(c)