Uma partícula move-se segundo \r \vec{r}(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), 3 t)\r. Determine a velocidade e aceleração no instante \r t=\pi\r.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
\displaystyle \vec{r}(t) = (\cos(2t),\,\sin(2t),\,3t)
e pede a velocidade \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} e a aceleração \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} avaliadas em t=\pi. Usaremos a diferenciação componente a componente de funções trigonométricas e lineares.

Passo 2

Para obter a velocidade, diferenciamos cada componente de \vec{r}(t):
\frac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr) = -2\sin(2t),\quad \frac{d}{dt}\bigl(\sin(2t)\bigr) = 2\cos(2t),\quad \frac{d}{dt}(3t) = 3.
Logo,
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \bigl(-2\sin(2t),\,2\cos(2t),\,3\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em t=\pi. Como \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1, temos
\vec{v}(\pi) = \bigl(-2\cdot0,\,2\cdot1,\,3\bigr) = (0,\,2,\,3).

Passo 4

Para a aceleração, diferenciamos \vec{v}(t):
\frac{d}{dt}\bigl(-2\sin(2t)\bigr) = -4\cos(2t),\quad \frac{d}{dt}\bigl(2\cos(2t)\bigr) = -4\sin(2t),\quad \frac{d}{dt}(3) = 0.
Então
\vec{a}(t) = \bigl(-4\cos(2t),\,-4\sin(2t),\,0\bigr).

Passo 5

Avaliando em t=\pi, usando \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0, obtemos
\vec{a}(\pi) = \bigl(-4\cdot1,\,-4\cdot0,\,0\bigr) = (-4,\,0,\,0).

Resposta

Velocidade em t=\pi: \vec{v}(\pi) = (0,\,2,\,3)
Aceleração em t=\pi: \vec{a}(\pi) = (-4,\,0,\,0)

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