Considere duas distribuições de massa em um sistema rotacional com os seguintes tensores de inércia I1 e I2 :
I1=[lll 3 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 ], I2=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ]
a) Calcule o produto I=I1 cdot I2
b) Verifique se I1 cdot I2=I2 cdot I1. O resultado é comutativo nesse caso?

Passo 1

O enunciado dá dois tensores de inércia em forma de matrizes 3times3:
I1= 3 & 0 & 0 [6pt] 0 & 2 & 2 [6pt] 0 & 0 & 1 , I2= 1 & 0 & 0 [6pt] 0 & 1 & 0 [6pt] 0 & 0 & 2 ,
e pede (a) o produto I=I1cdot I2 e (b) se I1cdot I2=I2cdot I1. Vamos usar a multiplicação de matrizes e depois comparar os resultados.]

Passo 2

A regra de multiplicação é
(I1I2)ij=sumk=1^3(I1)ik,(I2)kj
Calculando cada linha de I=I1I2 temos
I1I2 = 3cdot1+0+0 & 3cdot0+0+0 & 3cdot0+0+0 [6pt] 0cdot1+2cdot0+2cdot0 & 0cdot0+2cdot1+2cdot0 & 0cdot0+2cdot0+2cdot2 [6pt] 0cdot1+0+1cdot0 & 0+0+1cdot0 & 0+0+1cdot2 = 3 & 0 & 0 [4pt] 0 & 2 & 4 [4pt] 0 & 0 & 2 ]

Passo 3

Agora calculamos o produto na ordem inversa:
I2I1 = 1cdot3+0+0 & 1cdot0+0+0 & 1cdot0+0+0 [6pt] 0+1cdot0+0 & 0+1cdot2+0 & 0+1cdot2+0 [6pt] 0+0+2cdot0 & 0+0+2cdot0 & 0+0+2cdot1 = 3 & 0 & 0 [4pt] 0 & 2 & 2 [4pt] 0 & 0 & 2 ]

Passo 4

Comparando
I1I2=3&0&00&2&40&0&2, I2I1=3&0&00&2&20&0&2,
vemos que I1I2neq I2I1. Portanto, neste caso a multiplicação não é comutativa.

Resposta

(a) I=I1I2=3&0&00&2&40&0&2
(b) Não, pois
I1I2=3&0&00&2&40&0&2neq 3&0&00&2&20&0&2=I2I1

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