Considere duas esferas metálicas, raios R1 e R2, infinitamente separadas uma da outra. Sendo a carga total delas Q, qual a carga que cada uma deve ter para minimizar a energia potencial elétrica? Qual a diferença de potencial entre as esferas nessa condição de mínima energia? Qual delas fica com a maior carga? Qual delas fica com a maior densidade superficial de carga? Em qual delas há um maior campo elétrico superficial?

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de uma carga total Q em duas esferas metálicas isoladas, de raios R1 e R2, separadas a distância infinita (logo sem interação entre si), de modo a minimizar a energia potencial eletrostática. Vamos usar a expressão da autoenergia de cada esfera condutora e aplicar cálculo de mínimo.

Passo 2

A energia potencial total é soma das autoenergias das esferas:
U = 18pivarepsilon0l(q1^2R1 + q2^2R2r),
sujeita à restrição q1+q2=Q.

Passo 3

Para minimizar U com q2=Q-q1, fazemos dfracdUdq1=0:
dUdq1 =18pivarepsilon0l(2q1R1-2(Q-q1)R2r) =0 Longrightarrow q1R1=Q-q1R2

Passo 4

Da condição dfracq1R1=dfracq2R2 obtemos
q1 = Q,R1R1+R2, q2 = Q,R2R1+R2

Passo 5

O potencial de cada esfera é
Vi=qi4pivarepsilon0Ri
Como q1R1=q2R2, segue V1=V2 e portanto
De<a V = V1-V2 = 0

Passo 6

Comparando q1 e q2, vemos que qipropto Ri. Assim, a esfera de maior raio fica com maior carga.

Passo 7

A densidade superficial em cada esfera é
sigmai = qi4pi Ri^2 = Q4pi(R1+R2),Ri
Logo, a esfera de menor raio tem maior sigma.

Passo 8

O campo elétrico na superfície é
Ei = sigmaivarepsilon0 = qi4pivarepsilon0Ri^2,
seguindo a mesma relação de sigmai. Portanto, o campo é maior na esfera de menor raio.

Resposta

q1 = dfracQ,R1R1+R2, q2 = dfracQ,R2R1+R2
De<a V = 0
A esfera de maior raio fica com a maior carga.
A esfera de menor raio fica com a maior densidade superficial de carga e com o maior campo elétrico superficial.

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