Considere duas esferas metálicas, raios
e
, infinitamente separadas uma da outra. Sendo a carga total delas
, qual a carga que cada uma deve ter para minimizar a energia potencial elétrica? Qual a diferença de potencial entre as esferas nessa condição de mínima energia? Qual delas fica com a maior carga? Qual delas fica com a maior densidade superficial de carga? Em qual delas há um maior campo elétrico superficial?
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de uma carga total
em duas esferas metálicas isoladas, de raios
e
, separadas a distância infinita (logo sem interação entre si), de modo a minimizar a energia potencial eletrostática. Vamos usar a expressão da autoenergia de cada esfera condutora e aplicar cálculo de mínimo.
Passo 2
A energia potencial total é soma das autoenergias das esferas:
sujeita à restrição
.
Passo 3
Para minimizar
com
, fazemos
:
Passo 4
Da condição
obtemos
Passo 5
O potencial de cada esfera é
Como
, segue
e portanto
Passo 6
Comparando
e
, vemos que
. Assim, a esfera de maior raio fica com maior carga.
Passo 7
A densidade superficial em cada esfera é
Logo, a esfera de menor raio tem maior
.
Passo 8
O campo elétrico na superfície é
seguindo a mesma relação de
. Portanto, o campo é maior na esfera de menor raio.
Resposta
A esfera de maior raio fica com a maior carga.
A esfera de menor raio fica com a maior densidade superficial de carga e com o maior campo elétrico superficial.