Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e (g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=1 x+2 e g(x)=x^2-4

Passo 1

O enunciado pede as composições (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x) e os domínios de cada uma, sabendo que
f(x)=1x+2, g(x)=x^2-4

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x)=fl(g(x)r) substituímos x em f por g(x):
(fcirc g)(x) = 1,g(x)+2, = 1,x^2-4+2, = 1x^2-2

Passo 3

Para obter (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) substituímos x em g por f(x):
(gcirc f)(x) = l(f(x)r)^2 -4 = (1x+2)^!2 -4 = 1(x+2)^2 -4

Passo 4

Determinamos os domínios de f e g:
O domínio de f é todo x tal que o denominador não zere, ou seja
x+2 neq 0 Longrightarrow x neq -2
O domínio de g é todo R, pois x^2-4 é polinomial.

Passo 5

O domínio de fcirc g é o conjunto de x em que g(x) está no domínio de f. Logo precisamos de
g(x)+2 neq 0 Longrightarrow x^2-4+2 neq 0 Longrightarrow x^2-2 neq 0 Longrightarrow x neq pmraiz2
Como g é todo real, basta excluir x=pmraiz2.

Passo 6

O domínio de gcirc f é o conjunto de x em que f(x) está no domínio de g e x está no domínio de f. Como g aceita todo real, a única restrição vem de f:
x neq -2

Resposta

(fcirc g)(x)=dfrac1x^2-2, dom(fcirc g)=Rsetminuspmraiz2
(gcirc f)(x)=dfrac1(x+2)^2-4, dom(gcirc f)=Rsetminus-2

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