Seja f(x)=x^2 e^2 x, calcule f^prime(x).
(A) 2 x e^2 x
(B) x e^2 x(2+2 x)
(C) x e^2 x+2 x^2 e^2 x
(D) 2 x e^2 x+x^2 e^2 x
(E) NRA

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2e^2x
e pede sua derivada f'(x). Para resolver isso, vamos usar duas regras de derivação: a regra do produto (para derivar x^2cdot e^2x) e a regra da cadeia (para derivar e^2x).

Passo 2

Seja u(x)=x^2. A derivada de u em relação a x é
u'(x)=ddx(x^2)=2x

Passo 3

Seja v(x)=e^2x. Para derivar essa exponencial, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a “base” e^t em relação a t, dando e^t, e depois multiplicamos pela derivada de t=2x. Assim,
v'(x)=ddxl(e^2xr)=e^2xcdotddx(2x)=2e^2x

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', temos
f'(x)=2xcdot e^2x + x^2cdot 2e^2x

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x e^2x (ou 2e^2x):
f'(x) =2x e^2x +2x^2e^2x =2e^2x(x + x^2) = x e^2x(2+2x)

Resposta

(B) x e^2x(2+2x)

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