1. Determine a derivada de cada função.
    (a) y=x^n
    (b) y=e^x
    (c) y=a^x
    (d) y=ln x
    (e) y=log a x
    (f) y=sen x
    (g) y=cos x
    (h) y=tg x
    (i) y=cossec x
    (j) y=sec x
    (k) y=cotg x
    (1) y=sen^-1 x
    (m) y=cos ^-1 x
    (n) y=tg^-1 x
    (o) y=senh x

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a derivada de várias funções elementares: potenciais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, inversas e hiperbólicas. Vamos usar as regras básicas de diferenciação: regra do poder, derivada de e^x, mudança de base para exponenciais e logaritmos, derivadas de seno, cosseno, tangente e funções recíprocas, bem como fórmulas conhecidas para funções trigonométricas inversas e hiperbólicas.

Passo 2

Para as funções potenciais e exponenciais, lembramos:
– Regra do poder: se y=x^n, então
dydx=n,x^n-1
– Derivada de e^x:
ddxe^x=e^x
– Derivada de a^x (com a>0): escrevendo a^x=e^xln a, temos
ddxa^x=e^xln acdotln a=a^xln a

Passo 3

Para as funções logarítmicas, usamos a inversa do exponencial:
– Derivada de ln x (domínio x>0):
ddxln x=1x
– Derivada de logax: escrevendo logax=ln xln a, resulta
ddxlogax=1ln a,1x=1xln a

Passo 4

Nas funções trigonométricas básicas, aplicamos as derivadas padrão:
– Se y=senx, então
dydx=cos x
– Se y=cos x, então
dydx=-sin x
– Se y=tgx, sabendo que tan x=sin xcos x, obtemos
ddxtgx=sec^2x
– Se y=cossecx, com cossecx=1/sin x, então
ddxcossecx=-cossecx,cotg x
– Se y=sec x, ou seja 1/cos x, tem-se
ddxsec x=sec x,tan x
– Se y=cotgx, ou seja cos x/sin x, resulta
ddxcotgx=-csc^2x(onde csc x=cossecx)

Passo 5

Para as funções trigonométricas inversas, usamos fórmulas clássicas (domínio adequado):
– Se y=sen^-1x, então
dydx=1raiz1-x^2
– Se y=cos^-1x, então
dydx=-1raiz1-x^2
– Se y=tg^-1x, então
dydx=11+x^2

Passo 6

Para a função hiperbólica dada:
– Se y=senhx, lembramos que senhx=(e^x-e^-x)/2, logo
dydx=cosh x=e^x+e^-x2

Resposta

(a) dydx=n,x^n-1
(b) dydx=e^x
(c) dydx=a^xln a
(d) dydx=1x
(e) dydx=1xln a
(f) dydx=cos x
(g) dydx=-sin x
(h) dydx=sec^2x
(i) dydx=-cossecx,cotg x
(j) dydx=sec x,tan x
(k) dydx=-csc^2x
(l) dydx=1raiz1-x^2
(m) dydx=-1raiz1-x^2
(n) dydx=11+x^2
(o) dydx=cosh x

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