Considere duas funções físicas, temporais,
e
, sendo
e
, onde
foi definido como o instante de início do estudo das grandezas em questão. Determine o que se pede (e registre cada manipulação executada):
a)
instante(s)
em que a função
assume valor nulo.
b)
instante(s)
em que a função
assume valor nulo.
c)
instante(s)
em que as funções
e
assumem valores iguais.
d) Quais são os pontos máximos ou mínimos da função
? (determine numericamente e também indique em um gráfico)
e) Em um único gráfico, esboce as funções
e
.
f) Qual o significado das funções
ou
quando for aplicado valores de tempo negativo?
a)
b)
c)
d) Quais são os pontos máximos ou mínimos da função
e) Em um único gráfico, esboce as funções
f) Qual o significado das funções
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções de tempo, físicas,
e
definidas a partir de
. Pede-se:
– (a) raízes de ;
– (b) raízes de ;
– (c) instantes em que ;
– (d) máximos e mínimos de ;
– (e) esboço conjunto de e
;
– (f) significado físico de .
Para resolver vamos usar álgebra elementar (resolução de equações lineares e quadráticas), fórmula de Bhaskara, derivada para extremos e interpretação gráfica.
– (a) raízes de
– (b) raízes de
– (c) instantes em que
– (d) máximos e mínimos de
– (e) esboço conjunto de
– (f) significado físico de
Para resolver vamos usar álgebra elementar (resolução de equações lineares e quadráticas), fórmula de Bhaskara, derivada para extremos e interpretação gráfica.
Passo 2
(a) Para achar o(s) instante(s) em que
, basta resolver a equação linear
Isolando
:
Logo,
anula-se em
.
Passo 3
(b) Para
resolvemos a quadrática
Aplicando Bhaskara, o discriminante é
Assim as raízes são
Passo 4
(c) Para encontrar
tais que
, igualamos
De novo, o discriminante vale
logo
Isso dá
Passo 5
(d) Para achar extremos de
calculamos a derivada
Zerando
vem
Como o coeficiente de
em
é
,
é côncava para baixo e esse ponto é um máximo. O valor máximo é
Não há mínimo relativo (a parábola desce indefinidamente).
Passo 6
(e) No mesmo gráfico,
– é reta de coeficiente angular
e intercepto em
, cruza o eixo
em
.
– é uma parábola voltada para baixo, intercepta
, zera em
e atinge máximo
.
As duas curvas se cruzam em (valores iguais
) e em
, como achado.
Num esboço, a reta sobe com inclinação forte, a parábola parte de , cresce até
, depois decresce.
–
–
As duas curvas se cruzam em
Num esboço, a reta sobe com inclinação forte, a parábola parte de
Passo 7
(f) Valores de
correspondem a extrapolar o modelo para tempos anteriores ao marco
. Fisicamente, isso pode não ter significado real (por exemplo, não havia experimento ou fenômeno antes de
), sendo mera extensão matemática da fórmula.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) ou
.
(d) máximo em com
; não há mínimo relativo.
(e) reta com
e parábola
com vértice em
, cruzando-se em
.
(f) para , estamos extrapolando o modelo antes do instante inicial, sem garantia de validade física.
(b)
(c)
(d) máximo em
(e) reta
(f) para