Considere duas funções físicas, temporais, F(t) e G(t), sendo F(t)=5 t-4 e G(t)=16+t- 3 t^{2}, onde t=0 foi definido como o instante de início do estudo das grandezas em questão. Determine o que se pede (e registre cada manipulação executada):
a) \mathrm{O}(\mathrm{s}) instante(s) t em que a função F(t) assume valor nulo.
b) \mathrm{O}(\mathrm{s}) instante(s) t em que a função G(t) assume valor nulo.
c) \mathrm{O}(\mathrm{s}) instante(s) t em que as funções F(t) e G(t) assumem valores iguais.
d) Quais são os pontos máximos ou mínimos da função G(t) ? (determine numericamente e também indique em um gráfico)
e) Em um único gráfico, esboce as funções F(t) e G(t).
f) Qual o significado das funções F(t) ou G(t) quando for aplicado valores de tempo negativo?

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções de tempo, físicas,
F(t) = 5\,t - 4
e
G(t) = 16 + t - 3\,t^2,
definidas a partir de t=0. Pede-se:
– (a) raízes de F;
– (b) raízes de G;
– (c) instantes em que F(t)=G(t);
– (d) máximos e mínimos de G;
– (e) esboço conjunto de F e G;
– (f) significado físico de t<0.
Para resolver vamos usar álgebra elementar (resolução de equações lineares e quadráticas), fórmula de Bhaskara, derivada para extremos e interpretação gráfica.

Passo 2

(a) Para achar o(s) instante(s) em que F(t)=0, basta resolver a equação linear
5\,t - 4 = 0.
Isolando t:
5\,t = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4}{5}.
Logo, F(t) anula-se em t = \tfrac{4}{5}\,\text{s}.

Passo 3

(b) Para G(t)=0 resolvemos a quadrática
16 + t - 3\,t^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3\,t^2 - t - 16 = 0.
Aplicando Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 3\cdot(-16) = 1 + 192 = 193.
Assim as raízes são
t = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{2\cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{6}.

Passo 4

(c) Para encontrar t tais que F(t)=G(t), igualamos
5\,t - 4 = 16 + t - 3\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad 3\,t^2 + 4\,t - 20 = 0.
De novo, o discriminante vale
\Delta = 4^2 - 4\cdot3\cdot(-20) = 16 + 240 = 256,
logo
t = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2\cdot3} = \frac{-4 \pm 16}{6}.
Isso dá
t = \frac{12}{6} = 2 \quad\text{ou}\quad t = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}.

Passo 5

(d) Para achar extremos de G(t) calculamos a derivada
G'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(16 + t - 3\,t^2\bigr) = 1 - 6\,t.
Zerando G'(t) vem
1 - 6\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{6}.
Como o coeficiente de t^2 em G é -3<0, G é côncava para baixo e esse ponto é um máximo. O valor máximo é
G\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr) = 16 + \tfrac{1}{6} - 3\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{\!2} = 16 + \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{12} = 16 + \tfrac{1}{12} = \tfrac{193}{12}.
Não há mínimo relativo (a parábola desce indefinidamente).

Passo 6

(e) No mesmo gráfico,
F(t) é reta de coeficiente angular 5 e intercepto em F(0)=-4, cruza o eixo t em t=0,8.
G(t) é uma parábola voltada para baixo, intercepta G(0)=16, zera em t=(1\pm\sqrt{193})/6 e atinge máximo \bigl(t,G\bigr)=(\tfrac{1}{6},\tfrac{193}{12}).
As duas curvas se cruzam em t=2 (valores iguais 6) e em t=-\tfrac{10}{3}, como achado.
Num esboço, a reta sobe com inclinação forte, a parábola parte de 16, cresce até t=\tfrac{1}{6}, depois decresce.

Passo 7

(f) Valores de t<0 correspondem a extrapolar o modelo para tempos anteriores ao marco t=0. Fisicamente, isso pode não ter significado real (por exemplo, não havia experimento ou fenômeno antes de t=0), sendo mera extensão matemática da fórmula.

Resposta

(a) t = \tfrac{4}{5}.
(b) t = \dfrac{1 \pm \sqrt{193}}{6}.
(c) t = 2 ou t = -\tfrac{10}{3}.
(d) máximo em t = \tfrac{1}{6} com G = \tfrac{193}{12}; não há mínimo relativo.
(e) reta F com F(0)=-4 e parábola G com vértice em (\tfrac{1}{6},\tfrac{193}{12}), cruzando-se em t=2.
(f) para t<0, estamos extrapolando o modelo antes do instante inicial, sem garantia de validade física.

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