Considere as duas matrizes
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\\ i & 1 \end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1+i & 1-i \\\\ 1-i & 1+i \end{array}\right) .
Calcule as inversas destas matrizes.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede as inversas delas. Informações relevantes dadas:
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcular A^{-1} e B^{-1}.]

Passo 2

Lembrete prático (fórmula que vou usar): para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
se \det(M)=ad-bc\neq0 então
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui vou aplicar essa fórmula, usando também que se M=\lambda N com \lambda\neq0 então M^{-1}=\lambda^{-1}N^{-1} (isso simplifica contas quando a matriz tem um fator escalar).]

Passo 3

Calcular A^{-1}.
Defino M=\begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, assim A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}M. Primeiro o determinante de M:
\det(M)=1\cdot1 - i\cdot i = 1 - i^2 = 1 - (-1)=2.
Logo \det(A)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\det(M)=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1, portanto A é invertível. Agora aplico a fórmula ao bloco M:
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Como A^{-1}=\sqrt{2}\,M^{-1} (porque A=(1/\sqrt{2})M), obtemos
A^{-1}=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Observação rápida: isso coincide com a transposta conjugada de A, ou seja A^{-1}=A^\dagger, porque a matriz dada é unitária — mas a derivação acima usa só a fórmula de 2\times2.]

Passo 4

Calcular B^{-1}.
Defino N=\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}, então B=\dfrac{1}{2}N. Primeiro o determinante de N:
\det(N)=(1+i)(1+i)-(1-i)(1-i).
Calculo as potências:
(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i, \qquad (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i.
Portanto
\det(N)=2i-(-2i)=4i.
Logo \det(B)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\det(N)=\dfrac{1}{4}\cdot 4i=i, então B é invertível. Aplico a fórmula ao bloco N:
N^{-1}=\frac{1}{\det(N)}\begin{pmatrix}1+i & -(1-i)\\[4pt] -(1-i) & 1+i\end{pmatrix} =\frac{1}{4i}\begin{pmatrix}1+i & -1+i\\[4pt] -1+i & 1+i\end{pmatrix}.
Como B^{-1}=2\,N^{-1} (porque B=(1/2)N), segue
B^{-1}=2\cdot\frac{1}{4i}\begin{pmatrix}1+i & -1+i\\[4pt] -1+i & 1+i\end{pmatrix} =\frac{1}{2i}\begin{pmatrix}1+i & -1+i\\[4pt] -1+i & 1+i\end{pmatrix}.
Agora simplifico o fator \dfrac{1}{2i}. Como \dfrac{1}{i}=-i, tem \dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}. Multiplicando cada entrada por -\dfrac{i}{2} e simplificando:
-\frac{i}{2}(1+i)=\frac{1-i}{2},\qquad -\frac{i}{2}(-1+i)=\frac{1+i}{2}.
Portanto
B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1-i}{2} & \dfrac{1+i}{2}\\[6pt] \dfrac{1+i}{2} & \dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1-i}{2} & \dfrac{1+i}{2}\\[6pt] \dfrac{1+i}{2} & \dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}

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