Considere duas ondas viajando em direções opostas, cujos componentes do campo elétrico são dados por: E1=E0 cos (k z-omega t) x e E2=E0 cos (k z+omega t) x: Utilize as equações de Maxwell para calcular a componente do campo magnético estacionário associada a onda estacionária do campo elétrico encontrado na parte a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve ondas eletromagnéticas e as Equações de Maxwell. A gente tem duas ondas viajando em direções opostas, e queremos encontrar a componente do campo magnético da onda estacionária resultante. Para isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam nas ondas eletromagnéticas usando as Equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as expressões dos campos elétricos das duas ondas:
E1 = E0 cos(k z - omega t) x
E2 = E0 cos(k z + omega t) x
Aqui, é a amplitude do campo elétrico, é o número de onda, é a frequência angular, é a direção de propagação, é o tempo, e indica que o campo está na direção x.

Passo 3

Como as duas ondas estão viajando em direções opostas ao longo do eixo z, quando a gente soma essas duas ondas, forma-se uma onda estacionária. Para encontrar o campo elétrico total da onda estacionária, somamos E = E1 + E2 = E0 cos(k z - omega t) x + E0 cos(k z + omega t) x e :

Passo 4

Vamos usar a identidade trigonométrica para somar os cossenos:
cos A + cos B = 2 cos(A + B2)cos(A - B2)
Aplicando isso na nossa soma:
E = 2 E0 cos(k z) cos(omega t) x
Então, o campo elétrico da onda estacionária é:
E = 2 E0 cos(k z) cos(omega t) x

Passo 5

Agora, queremos encontrar o campo magnético correspondente a essa onda estacionária. Sabemos que, para ondas eletromagnéticas, os campos elétrico B = 1c k times E e magnético estão relacionados pelas Equações de Maxwell. Em particular, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona o campo elétrico ao campo magnético.
Para ondas viajando no vácuo, temos a relação:
Onde é a velocidade da luz e é a direção de propagação da onda.

Passo 6

No caso de uma onda estacionária, a direção de propagação não está mais bem definida porque temos superposição de ondas indo para frente e para trás. Porém, a relação entre B1 = 1c z times E1 = E0c cos(k z - omega t) y e B2 = 1c (-z) times E2 = E0c cos(k z + omega t) (-y) = E0c cos(k z + omega t) y ainda se mantém localmente.
Para cada contribuição das ondas viajando em direções opostas, o campo magnético correspondente será:

Passo 7

Agora, somamos os campos magnéticos das duas ondas para obter o campo magnético da onda estacionária:
B = B1 + B2 = E0c cos(k z - omega t) y + E0c cos(k z + omega t) y
Usando a mesma identidade trigonométrica que usamos para o campo elétrico:
B = 2 E0c cos(k z) cos(omega t) y

Resposta

A componente do campo magnético estacionário associada à onda elétrica é:
B = 2 E0c cos(k z) cos(omega t) y

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