Considere duas ondas viajando em direções opostas, cujos componentes do campo elétrico são dados por:
e
Utilize as equações de Maxwell para calcular a componente do campo magnético estacionário associada a onda estacionária do campo elétrico encontrado na parte a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve ondas eletromagnéticas e as Equações de Maxwell. A gente tem duas ondas viajando em direções opostas, e queremos encontrar a componente do campo magnético da onda estacionária resultante. Para isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam nas ondas eletromagnéticas usando as Equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as expressões dos campos elétricos das duas ondas:
Aqui,
é a amplitude do campo elétrico,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a direção de propagação,
é o tempo, e
indica que o campo está na direção x.
Passo 3
Como as duas ondas estão viajando em direções opostas ao longo do eixo z, quando a gente soma essas duas ondas, forma-se uma onda estacionária. Para encontrar o campo elétrico total da onda estacionária, somamos
e
:
Passo 4
Vamos usar a identidade trigonométrica para somar os cossenos:
Aplicando isso na nossa soma:
Então, o campo elétrico da onda estacionária é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o campo magnético correspondente a essa onda estacionária. Sabemos que, para ondas eletromagnéticas, os campos elétrico
e magnético
estão relacionados pelas Equações de Maxwell. Em particular, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona o campo elétrico ao campo magnético.
Para ondas viajando no vácuo, temos a relação:
Onde
é a velocidade da luz e
é a direção de propagação da onda.
Passo 6
No caso de uma onda estacionária, a direção de propagação não está mais bem definida porque temos superposição de ondas indo para frente e para trás. Porém, a relação entre
e
ainda se mantém localmente.
Para cada contribuição das ondas viajando em direções opostas, o campo magnético correspondente será:
Passo 7
Agora, somamos os campos magnéticos das duas ondas para obter o campo magnético da onda estacionária:
Usando a mesma identidade trigonométrica que usamos para o campo elétrico:
Resposta
A componente do campo magnético estacionário associada à onda elétrica é: