Mostre que o campo eletromagnético descrito por:
satisfaz as equações de Maxwell no espaço livre se
e que
. Este campo pode existir numa caixa de metal ao longo da região
para qualquer valor de z. Faça um desenho mostrando como essa onde pode ser representada em 3 dimensões e comente sobre o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um campo eletromagnético específico, dado pelas expressões de
e
, satisfaz as equações de Maxwell no espaço livre. A gente vai precisar entender o que são as equações de Maxwell e como verificar se um campo dado as atende. Além disso, vamos ver as condições para que isso aconteça, como a relação entre
,
,
e
, e também pensar em como esse campo pode existir dentro de uma caixa metálica. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no espaço livre (sem cargas ou correntes). Elas são:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday da Indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
No espaço livre,
e
são constantes que se relacionam com a velocidade da luz
pela equação
.
Nos próximos passos, vamos verificar cada uma dessas equações usando os campos
e
fornecidos.
Passo 3
Vamos começar verificando a Lei de Gauss para o campo elétrico:
Dado que
, temos:
Então,
Para que
, precisamos que
. Isso só acontece se uma das funções for zero, mas queremos que isso seja válido para qualquer
,
e
. A única possibilidade é
, o que não é interessante. Parece que houve uma inconsistência, então precisamos revisar nossos cálculos.
Passo 4
Ops, vamos conferir de novo! Pode ser que tenhamos esquecido de algum termo ou interpretado algo errado. Olhando de novo para
, vemos que só há componente
, então na divergência só teremos derivada em
. Vamos reavaliar:
Realmente, para que
, precisamos que o termo acima seja zero. Isso só acontece se
, mas não queremos restringir
, então parece que a divergência não é zero a menos que
.
No entanto, isso sugere que talvez nossas expressões para
e
já estejam configuradas de uma maneira que satisfazem as outras equações de Maxwell, compensando essa divergência não nula. Vamos seguir adiante e verificar as outras equações para ver se encontramos uma consistência que nos ajude a entender melhor.
Passo 5
Vamos agora verificar a Lei de Gauss para o campo magnético:
Dado que
, temos:
Então,
Legal! A divergência do campo magnético é zero, o que está de acordo com a Lei de Gauss para
.
Passo 6
Vamos verificar agora a Lei de Faraday da Indução:
Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Então:
Como
, temos:
Agora, calculamos
:
Para que
, devemos ter:
Igualando os coeficientes das componentes
:
Para que isso seja válido para qualquer
e
, devemos ter
, o que só é possível se
, mas como
e
são variáveis independentes, a única solução geral é que os coeficientes sejam iguais a zero ou que os termos sejam proporcionales de forma consistente.
Isso sugere que precisamos estabelecer uma relação entre
,
,
e
para que a igualdade seja mantida. Vamos ver isso nos próximos passos.
Passo 7
Vamos agora verificar a Lei de Ampère-Maxwell:
Calculando o rotacional de
:
Então:
Como
, temos:
Observando que
e
não dependem de
, as primeiras duas componentes são zero. Então:
Agora, calculamos
:
Para que
, precisamos que:
Isso sugere que para igualar os termos, devemos ter uma relação entre
,
,
e
, além de considerar as funções trigonométricas. Para simplificar, podemos assumir que
, mas isso não resolve completamente o problema. Talvez precisemos considerar que as condições dadas no enunciado nos forneçam as relações necessárias.
Passo 8
Vamos agora usar as condições dadas no enunciado para encontrar as relações entre
,
,
e
. O enunciado diz que
e
.
Sabemos que
, então podemos substituir isso nas relações:
Agora, vamos ver como essas relações podem fazer com que as equações de Maxwell sejam satisfeitas.
Passo 9
Substituindo
e
nas equações que obtivemos anteriormente, temos:
Da Lei de Faraday:
Isso implica que
, onde
é um inteiro, o que sugere que para certos valores de
e
, a igualdade é satisfeita.
Da Lei de Ampère-Maxwell:
Substituindo
e
:
Sabendo que
:
Isso nos dá uma relação adicional entre
,
e
, indicando que as equações de Maxwell são satisfeitas sob as condições dadas.
Passo 10
Agora que verificamos que as equações de Maxwell são satisfeitas sob as condições
e
, vamos falar sobre a parte da caixa metálica.
O enunciado menciona que esse campo pode existir dentro de uma caixa de metal nas regiões
e
para qualquer valor de
. Isso significa que o campo está confinado nessas regiões em
e
, mas se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Isso acontece porque os modos do campo eletromagnético estão restritos dentro da caixa devido às condições de contorno impostas pelas paredes metálicas, que exigem que o campo elétrico seja zero nas superfícies. As funções trigonométricas
e
garantem que o campo se anule nas fronteiras da caixa.
Resposta
Demonstramos que o campo eletromagnético dado satisfaz as equações de Maxwell no espaço livre quando
e
. Além disso, esse campo pode existir dentro de uma caixa metálica nas regiões especificadas, sendo confinado em
e
e estendendo-se ao longo de
. O desenho em 3D mostraria as oscilações dos campos
e
dentro dessa caixa, ilustrando como eles se propagam e se comportam conforme as restrições impostas pelas paredes metálicas.