Duas cargas fixas de +1,0 \mu C e -3,0 \mu C estão separadas por uma distância de 10 cm . Onde podemos localizar uma terceira carga de modo que a força eletrostática líquida sobre ela seja nula? Considere um deslocamento infinitesimal apropriado da posição de equilíbrio e conclua que o equilíbrio é instável. Em que direção você considerou o deslocamento? (Teorema de Earnshaw: nenhuma partícula pode estar em equilíbrio estável sob ação somente de forças eletrostáticas)

Passo 1

O enunciado dá duas cargas fixas sobre o eixo x: \;q_1=+1{,}0\;\mu\mathrm C em x=0 \;q_2=-3{,}0\;\mu\mathrm C em x=D=0{,}10\;\mathrm m
Queremos achar a posição x de uma terceira carga q_3 (suponha-a positiva) tal que a força elétrica total sobre ela seja nula. Vamos usar a lei de Coulomb e a soma vetorial das forças.

Passo 2

Se q_3 estiver em x, a distância a q_1 é
r_1=|x|, e a distância a q_2 é r_2=|x - D|. As magnitudes das forças são F_1 = k\,\frac{|q_1\,q_3|}{r_1^2},\quad F_2 = k\,\frac{|q_2\,q_3|}{r_2^2} = k\,\frac{3\,q_3}{r_2^2}.
Como q_1>0 repele q_3 e q_2<0 atrai q_3, para o equilíbrio essas forças devem ter mesma magnitude e direções opostas.

Passo 3

Impondo F_1 = F_2 vem
\frac{1}{r_1^2} = \frac{3}{r_2^2} \quad\Longrightarrow\quad r_2 = \sqrt{3}\,r_1.
Escrevendo r_1=|x| e r_2=|x - D|, obtemos
|x - D| = \sqrt{3}\,|x|.
Analisamos as três regiões sobre o eixo:
  • Entre as cargas (0<x<D): ambas as forças apontam para a direita, não se anulam.
  • À direita de q_2 (x>D): a equação não produz solução x>D.
  • À esquerda de q_1 (x<0): aqui a repulsão de q_1 é para a esquerda e a atração de q_2 é para a direita, podendo se cancelar.

Passo 4

Na região x<0 escrevemos
D - x = \sqrt{3}\,(-x) \quad\Longrightarrow\quad D = (\sqrt{3}-1)(-x) \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{D}{\sqrt{3}-1} = -\frac{0{,}10}{1{,}732-1}\approx -0{,}1366\;\mathrm m.
Isto é, a 0{,}1366\;\mathrm m à esquerda de q_1 (cerca de 13{,}7\;\mathrm{cm} à esquerda da carga de +1{,}0\;\mu\mathrm C).

Passo 5

Para testar a estabilidade, deslocamos infinitesimalmente q_3 ao longo do mesmo eixo (direção que une as duas cargas) em x = x_0 + \delta x. Se \delta x>0 a força resultante aponta para longe de x_0, e se \delta x<0 também aponta para longe de x_0. Não há força restauradora: o equilíbrio é instável.

Resposta

A terceira carga deve ser colocada a 0{,}1366\;\mathrm m (13,7 cm) à esquerda da carga de +1{,}0\;\mu\mathrm C. O equilíbrio é instável, e para demonstrar isso considerou-se um deslocamento infinitesimal ao longo do eixo que une as duas cargas.

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