Considere duas particulas interagindo através da energia potencial da lei de Hooke,
, onde
é a posição relativa entre elas,
, e não estão sujeitas a qualquer força externa. Mostre que
descreve uma elipse. Com isso, mostre que ambas as partículas se movem sobre elipses similares em torno do CM comum a ambas.
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: duas partículas interagem por uma mola (energia potencial de Hooke)
sendo
, e não tem nada de externo empurrando. A gente precisa mostrar duas coisas:
- O vetor relativo
descreve uma elipse. - Cada partícula também anda em elipses semelhantes ao redor do centro de massa (CM).
Matéria envolvida: redução ao problema de massa reduzida, equação de movimento num potencial central, solução de oscilador harmônico vetorial, e relação entre coordenadas individuais e coordenada relativa. Vamos precisar lembrar de:
- Definir massa reduzida
e centro de massa . - Escrever a equação de movimento para
. - Resolver esse ODE vetorial (osc. harmônico).
- Relacionar
com e .
Passo 2
Primeiro, a gente separa o movimento em duas partes:
– Centro de massa:
– Centro de massa:
Como não tem força externa,
se move com velocidade constante (equação trivial
).
– Relativo: define massa reduzida
– Relativo: define massa reduzida
e posição relativa
. A energia cinética vira
e o potencial é
.
Passo 3
A equação de movimento para
sai do Lagrangiano ou de Newton direto:
Então temos um oscilador harmônico vetorial com frequência
Em cada componente isso é
e
(se o movimento for no plano), e mesma
em
e
.
Passo 4
A solução geral é combinação de cosseno e seno pra cada componente:
Como a frequência é a mesma, a curva paramétrica
é uma elipse (pense em projetar o movimento de um ponto numa roda em duas direções diferentes mas com mesma
).
Outra abordagem é usar conservação de energia + momento angular e ver que a equação do tipo num potencial
é fechada e dá elipse, mas a visão de oscilador harmônico é mais direta.
Outra abordagem é usar conservação de energia + momento angular e ver que a equação do tipo
Passo 5
Agora, para cada partícula:
Como
é fixo ou vai em linha reta, e
é elíptico, cada
também descreve elipse. Os “fatores”
e
só escalam a elipse relativa, então as duas elipses são geometricamente semelhantes.
Resposta
-
satisfaz , que é um oscilador harmônico vetorial com solução paramétrica elíptica. - As trajetórias individuais
e são elipses semelhantes, centradas no CM, por causa da relação linear com .