Considere duas particulas interagindo através da energia potencial da lei de Hooke, U=12 k r^2, onde r é a posição relativa entre elas, r=r1-r2, e não estão sujeitas a qualquer força externa. Mostre que r(t) descreve uma elipse. Com isso, mostre que ambas as partículas se movem sobre elipses similares em torno do CM comum a ambas.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: duas partículas interagem por uma mola (energia potencial de Hooke)
U = tfrac12,k,r^2,
sendo , e não tem nada de externo empurrando. A gente precisa mostrar duas coisas:
  1. O vetor relativo descreve uma elipse.
  2. Cada partícula também anda em elipses semelhantes ao redor do centro de massa (CM).
Matéria envolvida: redução ao problema de massa reduzida, equação de movimento num potencial central, solução de oscilador harmônico vetorial, e relação entre coordenadas individuais e coordenada relativa. Vamos precisar lembrar de:
  • Definir massa reduzida e centro de massa .
  • Escrever a equação de movimento para .
  • Resolver esse ODE vetorial (osc. harmônico).
  • Relacionar com e .

Passo 2

Primeiro, a gente separa o movimento em duas partes:
– Centro de massa:
boldsymbol Rrm CM = m1boldsymbol r1 + m2boldsymbol r2m1+m2
Como não tem força externa, mu = m1,m2m1+m2 se move com velocidade constante (equação trivial ).
– Relativo: define massa reduzida
e posição relativa . A energia cinética vira e o potencial é .

Passo 3

A equação de movimento para mu,ddotboldsymbol r = -nabla U = -k,boldsymbol r sai do Lagrangiano ou de Newton direto:
omega = raizkmu
Então temos um oscilador harmônico vetorial com frequência
Em cada componente isso é
e (se o movimento for no plano), e mesma em e .

Passo 4

A solução geral é combinação de cosseno e seno pra cada componente:
x(t) = Axcos(omega t+phix), y(t) = Aycos(omega t+phiy)
Como a frequência é a mesma, a curva paramétrica é uma elipse (pense em projetar o movimento de um ponto numa roda em duas direções diferentes mas com mesma ).
Outra abordagem é usar conservação de energia + momento angular e ver que a equação do tipo num potencial é fechada e dá elipse, mas a visão de oscilador harmônico é mais direta.

Passo 5

Agora, para cada partícula:
boldsymbol r1(t) = boldsymbol Rrm CM + m2m1+m2,boldsymbol r(t), boldsymbol r2(t) = boldsymbol Rrm CM - m1m1+m2,boldsymbol r(t)
Como é fixo ou vai em linha reta, e é elíptico, cada também descreve elipse. Os “fatores” e só escalam a elipse relativa, então as duas elipses são geometricamente semelhantes.

Resposta

  1. satisfaz , que é um oscilador harmônico vetorial com solução paramétrica elíptica.
  2. As trajetórias individuais e são elipses semelhantes, centradas no CM, por causa da relação linear com .

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