Considere duas partículas localizadas no plano tridimensional pelos vetores:
\vec{a}=(4,0 \hat{\imath}-3,0 \hat{\jmath}+1,0 \hat{k}) c m \quad \text { e } \quad \vec{b}=(-1,0 \hat{\imath}+2,0 \hat{\jmath}+4,0 \hat{k}) c m
Determine:
RA1 - o vetor ( 2 \vec{a}-\vec{b} )

Passo 1

O enunciado pede para calcular 2\vec{a}-\vec{b}. As informações dadas (vou extrair explicitamente as componentes dos vetores do enunciado) são:
  • \vec{a} = (4,0\hat{\imath} - 3,0\hat{\jmath} + 1,0\hat{k}) cm, portanto as componentes são \,a_x = 4,0\,,\;a_y = -3,0\,,\;a_z = 1,0.
  • \vec{b} = (-1,0\hat{\imath} + 2,0\hat{\jmath} + 4,0\hat{k}) cm, portanto as componentes são \,b_x = -1,0\,,\;b_y = 2,0\,,\;b_z = 4,0.
O que se pede: calcular o vetor \,2\vec{a}-\vec{b}.

Passo 2

Relembrando o que significa multiplicar um vetor por escalar: se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) e \lambda é um número real, então
\lambda\vec{v}=(\lambda v_x,\;\lambda v_y,\;\lambda v_z).
Aplicando com \lambda=2 em \vec{a}, calculamos componente a componente:
2\vec{a} = \bigl(2\cdot a_x,\;2\cdot a_y,\;2\cdot a_z\bigr).
Substituindo os valores extraídos:
2\vec{a} = \bigl(2\cdot 4,0,\;2\cdot(-3,0),\;2\cdot 1,0\bigr).

Passo 3

Agora fazemos as multiplicações simples (mostrando cada conta):
2\cdot 4,0 = 8,0, \qquad 2\cdot(-3,0) = -6,0, \qquad 2\cdot 1,0 = 2,0.
Portanto as componentes de 2\vec{a} são (8,0,\,-6,0,\;2,0).

Passo 4

Explicando a subtração de vetores: se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x,\;u_y-v_y,\;u_z-v_z).
Vamos aplicar isso a \vec{u}=2\vec{a} e \vec{v}=\vec{b}. Subtraindo componente a componente:
  • componente x: 8,0 - (-1,0) = 8,0 + 1,0 = 9,0,
  • componente y: -6,0 - 2,0 = -8,0,
  • componente z: 2,0 - 4,0 = -2,0.

Passo 5

Juntando as componentes obtidas, o resultado em forma de combinação linear das direções é \,9,0\hat{\imath}-8,0\hat{\jmath}-2,0\hat{k} e em forma de tupla é (9,0,\,-8,0,\,-2,0), com unidade em centímetros.

Resposta

2\vec{a}-\vec{b}=9,0\hat{\imath}-8,0\hat{\jmath}-2,0\hat{k}\\ \text{cm}

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