RA1 - Uma pessoa inicialmente em repouso na origem do plano ( x y ) começa a caminhar 2 m para o norte, depois 1 m para o leste, 5 m para o sul e finalmente 3 m para o oeste. Qual é a representação analitica do vetor posição da pessoa no final da viagem?
a) \vec{r}=(2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}) m
b) \vec{r}=(-2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}) m
c) \vec{r}=(-2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}) m
d) \vec{r}=(3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}) m
e) \vec{r}=(-3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}) m

Passo 1

O enunciado pede a representação analítica do vetor posição final de uma pessoa que começou em repouso na origem e fez uma sequência de deslocamentos. Pergunta explícita:
  • Qual é o vetor posição final \vec{r} (em metros) depois dos deslocamentos dados?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (peguei estes dados do enunciado / figura):
  • Posição inicial: origem do plano, ou seja \,(0,0)\,.
  • Deslocamentos na ordem:
    • 2\\ \mathrm{m} para o norte;
    • 1\\ \mathrm{m} para o leste;
    • 5\\ \mathrm{m} para o sul;
    • 3\\ \mathrm{m} para o oeste.
  • Os eixos cartesianos têm +y para o norte e +x para o leste (convenção usual mostrada na figura).
  • Quer-se a resposta na forma de vetor com \hat{\imath} (versor em x) e \hat{\jmath} (versor em y).

Passo 2

Conceitos básicos (rápida aula para aplicar na prova):
  • Um vetor posição no plano é dado por \vec{r}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}, onde \hat{\imath} é o versor unitário na direção +x (leste) e \hat{\jmath} é o versor unitário na direção +y (norte).
  • Deslocamentos sucessivos somam-se componente a componente. Se houver deslocamentos \Delta \vec{r}_1,\Delta \vec{r}_2,\dots, então a posição final é \vec{r}=\vec{r}_0+\sum \Delta \vec{r}_i. Aqui \vec{r}_0=(0,0).
  • Para converter um deslocamento cardinal em componentes: norte = +y ( +\hat{\jmath}), sul = -y ( -\hat{\jmath}), leste = +x ( +\hat{\imath}), oeste = -x ( -\hat{\imath}).

Passo 3

Converter cada deslocamento em forma vetorial (cada número e símbolo em TeX):
  • Primeiro deslocamento: 2\\ \mathrm{m} para o norte \Rightarrow \Delta \vec{r}_1 = 2\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.
  • Segundo deslocamento: 1\\ \mathrm{m} para o leste \Rightarrow \Delta \vec{r}_2 = 1\hat{\imath}\\ \mathrm{m}.
  • Terceiro deslocamento: 5\\ \mathrm{m} para o sul \Rightarrow \Delta \vec{r}_3 = -5\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.
  • Quarto deslocamento: 3\\ \mathrm{m} para o oeste \Rightarrow \Delta \vec{r}_4 = -3\hat{\imath}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Somar as componentes x e y separadamente (mostrando as contas passo a passo):
  • Componente x: x = 0 + 1 + 0 - 3 = 1 - 3 = -2.(Aqui 0 é a componente x inicial na origem, +1 vem de \Delta \vec{r}_2, -3 vem de \Delta \vec{r}_4.)
  • Componente y: y = 0 + 2 - 5 + 0 = 2 - 5 = -3.(Aqui +2 vem de \Delta \vec{r}_1, -5 vem de \Delta \vec{r}_3.)

Passo 5

Interpretação final e identificação da alternativa:
  • A posição final tem componente x=-2 e componente y=-3.
  • A alternativa que apresenta essas componentes é a letra (c).

Resposta

c) \vec{r}=(-2\hat{\imath}-3\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}

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