Considere duas partículas localizadas no plano tridimensional pelos vetores:
\vec{a}=(4,0 \hat{\imath}-3,0 \hat{\jmath}+1,0 \hat{k}) c m \quad \text { e } \quad \vec{b}=(-1,0 \hat{\imath}+2,0 \hat{\jmath}+4,0 \hat{k}) c m
Determine:
RA2 - o módulo do vetor (\vec{a}+\vec{b})

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores posição (unidade em centímetros) e pede o módulo do vetor soma (\vec{a}+\vec{b}). Dados fornecidos:
  • \vec{a}=(4,0\hat{\imath}-3,0\hat{\jmath}+1,0\hat{k})\\ \text{cm}. Ou seja, as componentes de \vec{a} são \,a_x=4,0\,,\\ a_y=-3,0\,,\\ a_z=1,0.
  • \vec{b}=(-1,0\hat{\imath}+2,0\hat{\jmath}+4,0\hat{k})\\ \text{cm}. Ou seja, as componentes de \vec{b} são \,b_x=-1,0\,,\\ b_y=2,0\,,\\ b_z=4,0.
O que se pede:
  • Calcular o módulo (norma) de \vec{a}+\vec{b}, isto é \lVert \vec{a}+\vec{b}\rVert.

Passo 2

Somar os vetores componente a componente. Regra: ao somar vetores em coordenadas cartesianas, soma-se cada componente correspondente:
(\vec{a}+\vec{b})_x = a_x + b_x,\qquad (\vec{a}+\vec{b})_y = a_y + b_y,\qquad (\vec{a}+\vec{b})_z = a_z + b_z.
Substituindo os valores dados:
(\vec{a}+\vec{b})_x = 4,0 + (-1,0)=3,0,
(\vec{a}+\vec{b})_y = -3,0 + 2,0 = -1,0,
(\vec{a}+\vec{b})_z = 1,0 + 4,0 = 5,0.

Passo 3

Escrevendo o vetor soma com suas componentes:
\vec{a}+\vec{b} = (3,0\,\hat{\imath} - 1,0\,\hat{\jmath} + 5,0\,\hat{k})\\ \text{cm}.
Aqui 3,0, -1,0 e 5,0 são, respectivamente, as componentes x, y e z do vetor soma em centímetros.

Passo 4

Explicar a fórmula do módulo de um vetor em 3D. Para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o módulo (norma) \lVert\vec{v}\rVert é dado por:
\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Esta fórmula vem da extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: primeiro calcula-se a distância no plano xy e depois inclui-se a componente z. Aqui v_x, v_y e v_z são as componentes do vetor ao longo dos eixos x, y e z.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao vetor \vec{a}+\vec{b}. Tomando v_x=3,0, v_y=-1,0, v_z=5,0:
\lVert \vec{a}+\vec{b}\rVert = \sqrt{(3,0)^{2}+(-1,0)^{2}+(5,0)^{2}}.
Calcule cada termo:
(3,0)^{2}=9,0,\qquad (-1,0)^{2}=1,0,\qquad (5,0)^{2}=25,0.

Passo 6

Somar os quadrados e extrair a raiz:
\lVert \vec{a}+\vec{b}\rVert = \sqrt{9,0+1,0+25,0}=\sqrt{35,0}=\sqrt{35}\\ \text{cm}.

Passo 7

Dar uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor decimal). Calculando a raiz aproximada:
\sqrt{35}\approx 5,91608\\ \text{cm}.
(Fica a recomendação: se a prova exigir apenas resultado exato, use \sqrt{35}\\ \text{cm}; se pedir aproximação, use \approx 5,916\\ \text{cm} conforme a quantidade de casas desejada.)

Resposta

\lVert \vec{a}+\vec{b}\rVert = \sqrt{35}\\ \text{cm} \approx 5,91608\\ \text{cm}

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