Considere duas placas metálicas planas e paralelas, de área
, separadas por uma distância
. A placa superior está carregada com densidade superficial de carga
, e a inferior com densidade superficial -
.
(a)
Usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico gerado por uma única placa infinita carregada com densidade superficial
. Considere cada placa como um plano infinito carregado; (b) ( 0,5 ) A partir do resultado anterior, obtenha o campo elétrico entre as placas; (c)
Sabendo que o potencial elétrico está relacionado ao campo por
. determine a diferença de potencial entre as placas;
(d)
Defina a capacitância do sistema e obtenha a expressão de C em função de
e da permissividade elétrica do vácuo
. Discuta qualitativamente como a capacitância seria alterada caso fosse inserido um dielétrico de constante dielétrica
entre as placas.
(a)
(d)
Passo 1
O enunciado dá duas placas metálicas planas e paralelas, de área
, separadas por uma distância
. A placa superior tem densidade superficial de carga
e a inferior tem densidade superficial
. As perguntas são:
(a) Usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico gerado por uma única placa infinita com densidade superficial (tratar cada placa como plano infinito).
(b) A partir do item (a), obter o campo elétrico entre as placas.
(c) Usando , determinar a diferença de potencial entre as placas.
(d) Definir capacitância do sistema e obter em função de
,
e da permissividade do vácuo
. Discutir qualitativamente o efeito de inserir um dielétrico de constante dielétrica
entre as placas.
(a) Usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico gerado por uma única placa infinita com densidade superficial
(b) A partir do item (a), obter o campo elétrico entre as placas.
(c) Usando
(d) Definir capacitância do sistema e obter
Informações relevantes dadas: cada placa pode ser tratada como um plano infinito; as densidades superficiais são
(superior) e
(inferior); distância entre placas é
; área de cada placa é
.
Passo 2
Relembrando a ferramenta: a lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica envolvida dividida por
:
Aqui
é o campo elétrico,
é o elemento de área vetorial da superfície gaussiana,
é a carga encerrada e
é a permissividade elétrica do vácuo. Para uma placa infinita uniformemente carregada, simetria indica que o campo é perpendicular ao plano e tem mesmo módulo em qualquer ponto à mesma distância do plano. Então escolhemos uma superfície gaussiana em forma de “cilindro” (ou melhor, uma cápsula/pílula) que atravessa o plano: duas tampas planas paralelas de área
normais ao plano e parede lateral que não contribui (pois
é paralelo à parede lateral). A pílula encerra carga
, onde
é a densidade superficial (carga por área).
Passo 3
Aplicando Gauss na pílula: o fluxo passa só pelas duas tampas (cada uma com área
), e em cada tampo o campo tem módulo
apontando para fora do plano (em lados opostos). Portanto o fluxo total é
. Pela lei de Gauss:
Cancelando
e isolando
obtemos o módulo do campo produzido por uma placa infinita:
Interpretação de sinal e direção: se a placa tem carga positiva (
), o campo sai da placa; se a placa tem carga negativa (
), o campo aponta em direção à placa. O resultado acima dá o módulo e a direção (perpendicular ao plano).
Passo 4
Agora consideramos as duas placas paralelas. Usamos princípio da superposição: o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada placa isoladamente. Chamemos de
o módulo que cada placa produz nas regiões ao redor dela. Precisamos analisar direções em cada região:
- Região entre as placas: a placa superior é positiva, então ela produz um campo apontando para baixo entre as placas; a placa inferior é negativa, então ela também produz um campo apontando para baixo entre as placas (o campo de uma placa negativa aponta em direção à placa). Assim os módulos somam. Logo o campo entre as placas tem módulo
A direção é do potencial mais alto para o mais baixo, ou seja, da placa positiva (superior) para a placa negativa (inferior) — isto é, para baixo.
- Região fora das placas (acima da placa superior ou abaixo da inferior): os campos de cada placa têm direções opostas e, para placas idênticas em módulo, se cancelam. Portanto
(desprezando efeitos de borda).
Passo 5
Calcular a diferença de potencial entre as placas. A fórmula é
Tomemos “acima” = placa superior e “abaixo” = placa inferior; a distância entre elas é
. Entre as placas
é constante em módulo e direção (para baixo) e vale
. Se escolhermos a direção de integração de baixo para cima, o elemento de deslocamento
aponta para cima, então
. Substituindo:
Usando
obtemos:
Observação física: a placa positiva está em potencial maior; o módulo da diferença de potencial é
.
Passo 6
Definição de capacitância: a capacitância
de um sistema de duas placas é a razão entre a carga em uma placa e a diferença de potencial entre as placas:
onde
é a carga em magnitude numa placa. Aqui
. Substituímos
. Assim
Esse é o resultado clássico para o capacitor de placas paralelas (pressupõe placas grandes e separação pequena, de modo que efeitos de borda sejam desprezíveis).
Efeito de um dielétrico: se inserirmos um material dielétrico homogêneo entre as placas com constante dielétrica
(também chamada
ou
), a permissividade do meio passa a ser
. Para a mesma carga
a presença do dielétrico reduz o campo elétrico interno (porque o material polariza e fornece cargas ligadas que se opõem ao campo), portanto a diferença de potencial diminui e a capacitância aumenta. Quantitativamente, a fórmula fica
Resumindo qualitativo: inserir dielétrico aumenta
em um fator
.
Resposta
(a)
(campo de uma placa infinita; direção: afasta-se da placa positiva).
(b) (entre as placas, dirigido da placa positiva para a negativa).
(c) .
(d) . Com dielétrico de constante
:
.
(b)
(c)
(d)