(3,5) Considere duas placas metálicas planas e paralelas, de área A, separadas por uma distância d. A placa superior está carregada com densidade superficial de carga \sigma, e a inferior com densidade superficial - \sigma.
(a) (0,5) Usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico gerado por uma única placa infinita carregada com densidade superficial \sigma. Considere cada placa como um plano infinito carregado; (b) ( 0,5 ) A partir do resultado anterior, obtenha o campo elétrico entre as placas; (c) (\mathbf{1}, \mathbf{5}) Sabendo que o potencial elétrico está relacionado ao campo por \Delta V=-\int_{-}^{+} \vec{E} \cdot d \vec{l}. determine a diferença de potencial entre as placas;
(d) (\mathbf{1 , 0}) Defina a capacitância do sistema e obtenha a expressão de C em função de A, d e da permissividade elétrica do vácuo \varepsilon_{0}. Discuta qualitativamente como a capacitância seria alterada caso fosse inserido um dielétrico de constante dielétrica K entre as placas.

Passo 1

O enunciado dá duas placas metálicas planas e paralelas, de área A, separadas por uma distância d. A placa superior tem densidade superficial de carga \sigma e a inferior tem densidade superficial -\sigma. As perguntas são:
(a) Usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico gerado por uma única placa infinita com densidade superficial \sigma (tratar cada placa como plano infinito).
(b) A partir do item (a), obter o campo elétrico entre as placas.
(c) Usando \Delta V=-\int_{-}^{+}\vec{E}\cdot d\vec{l}, determinar a diferença de potencial entre as placas.
(d) Definir capacitância do sistema e obter C em função de A, d e da permissividade do vácuo \varepsilon_{0}. Discutir qualitativamente o efeito de inserir um dielétrico de constante dielétrica K entre as placas.
Informações relevantes dadas: cada placa pode ser tratada como um plano infinito; as densidades superficiais são +\sigma (superior) e -\sigma (inferior); distância entre placas é d; área de cada placa é A.

Passo 2

Relembrando a ferramenta: a lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica envolvida dividida por \varepsilon_{0}:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \vec{E} é o campo elétrico, d\vec{A} é o elemento de área vetorial da superfície gaussiana, Q_{\text{int}} é a carga encerrada e \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo. Para uma placa infinita uniformemente carregada, simetria indica que o campo é perpendicular ao plano e tem mesmo módulo em qualquer ponto à mesma distância do plano. Então escolhemos uma superfície gaussiana em forma de “cilindro” (ou melhor, uma cápsula/pílula) que atravessa o plano: duas tampas planas paralelas de área A normais ao plano e parede lateral que não contribui (pois \vec{E} é paralelo à parede lateral). A pílula encerra carga Q_{\text{int}}=\sigma A, onde \sigma é a densidade superficial (carga por área).

Passo 3

Aplicando Gauss na pílula: o fluxo passa só pelas duas tampas (cada uma com área A), e em cada tampo o campo tem módulo E apontando para fora do plano (em lados opostos). Portanto o fluxo total é E A + E A = 2 E A. Pela lei de Gauss:
2 E A = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando A e isolando E obtemos o módulo do campo produzido por uma placa infinita:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
Interpretação de sinal e direção: se a placa tem carga positiva ( \sigma>0), o campo sai da placa; se a placa tem carga negativa ( \sigma<0), o campo aponta em direção à placa. O resultado acima dá o módulo e a direção (perpendicular ao plano).

Passo 4

Agora consideramos as duas placas paralelas. Usamos princípio da superposição: o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada placa isoladamente. Chamemos de E_{\text{placa}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} o módulo que cada placa produz nas regiões ao redor dela. Precisamos analisar direções em cada região:
  • Região entre as placas: a placa superior é positiva, então ela produz um campo apontando para baixo entre as placas; a placa inferior é negativa, então ela também produz um campo apontando para baixo entre as placas (o campo de uma placa negativa aponta em direção à placa). Assim os módulos somam. Logo o campo entre as placas tem módulo
E_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
A direção é do potencial mais alto para o mais baixo, ou seja, da placa positiva (superior) para a placa negativa (inferior) — isto é, para baixo.
  • Região fora das placas (acima da placa superior ou abaixo da inferior): os campos de cada placa têm direções opostas e, para placas idênticas em módulo, se cancelam. Portanto E_{\text{fora}} = 0 (desprezando efeitos de borda).

Passo 5

Calcular a diferença de potencial entre as placas. A fórmula é
\Delta V = V_{\text{acima}}-V_{\text{abaixo}} = -\int_{\text{abaixo}}^{\text{acima}} \vec{E}\cdot d\vec{l}.
Tomemos “acima” = placa superior e “abaixo” = placa inferior; a distância entre elas é d. Entre as placas \vec{E} é constante em módulo e direção (para baixo) e vale E_{\text{entre}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}. Se escolhermos a direção de integração de baixo para cima, o elemento de deslocamento d\vec{l} aponta para cima, então \vec{E}\cdot d\vec{l} = (-E_{\text{entre}})\,dl. Substituindo:
V_{\text{superior}}-V_{\text{inferior}} = -\int_{0}^{d}(-E_{\text{entre}})\,dl = E_{\text{entre}}\int_{0}^{d} dl = E_{\text{entre}}\,d.
Usando E_{\text{entre}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}} obtemos:
V_{\text{superior}}-V_{\text{inferior}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\,d.
Observação física: a placa positiva está em potencial maior; o módulo da diferença de potencial é \dfrac{\sigma d}{\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Definição de capacitância: a capacitância C de um sistema de duas placas é a razão entre a carga em uma placa e a diferença de potencial entre as placas:
C = \frac{Q}{\Delta V},
onde Q é a carga em magnitude numa placa. Aqui Q = \sigma A. Substituímos \Delta V = V_{\text{superior}}-V_{\text{inferior}} = \dfrac{\sigma d}{\varepsilon_{0}}. Assim
C = \frac{\sigma A}{\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_{0}}} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}.
Esse é o resultado clássico para o capacitor de placas paralelas (pressupõe placas grandes e separação pequena, de modo que efeitos de borda sejam desprezíveis).
Efeito de um dielétrico: se inserirmos um material dielétrico homogêneo entre as placas com constante dielétrica K (também chamada \kappa ou \varepsilon_{r}), a permissividade do meio passa a ser \varepsilon = K \varepsilon_{0}. Para a mesma carga Q a presença do dielétrico reduz o campo elétrico interno (porque o material polariza e fornece cargas ligadas que se opõem ao campo), portanto a diferença de potencial diminui e a capacitância aumenta. Quantitativamente, a fórmula fica
C_{\text{com dielétrico}} = \frac{K \varepsilon_{0} A}{d}.é
Resumindo qualitativo: inserir dielétrico aumenta C em um fator K.

Resposta

(a) E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (campo de uma placa infinita; direção: afasta-se da placa positiva).
(b) E_{\text{entre}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}} (entre as placas, dirigido da placa positiva para a negativa).
(c) V_{\text{superior}}-V_{\text{inferior}}=\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_{0}}.
(d) C=\dfrac{\varepsilon_{0}A}{d}. Com dielétrico de constante K: C=\dfrac{K\varepsilon_{0}A}{d}.

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