- Suponha que para uma integral de linha independente de um caminho
foi determinada a função potencial
.
a. Qual era essa integral de linha?
b. Se o caminho
era a porção da circunferência
, situada no primeiro quadrante, indo da origem ao ponto
, qual o valor da integral de linha?
a. Qual era essa integral de linha?
b. Se o caminho
Passo 1
O enunciado dá a função potencial
e afirma que a integral de linha considerada é independente do caminho
. Perguntas:
- (a) Qual era essa integral de linha? — isto é, qual forma
tinha, sabendo que é a função potencial. - (b) Se
é a porção da circunferência situada no primeiro quadrante, indo da origem ao ponto , qual o valor dessa integral de linha?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
a integral de linha é independente de caminho (portanto existe a função potencial que nos foi dada) e os pontos inicial e final do caminho
são
e
, respectivamente.
Passo 2
Vamos obter os componentes da campo de vetores cujo potencial é
. Isso significa calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
:
Agora calcule termo a termo:
Somando,
Derivada parcial em relação a
:
Termo a termo:
Somando,
Passo 3
Agora escrevemos explicitamente o campo de vetores
e a integral de linha associada. Se
é função potencial, o campo de vetores é o gradiente de
:
onde
A integral de linha correspondente, ao longo de um caminho
, tem a forma
Passo 4
Aqui vem a ideia-chave (a que você usa na prova): o Teorema Fundamental para Integrais de Linha (ou Teorema do Gradiente) diz que, se
é um campo conservativo (isto é, tem função potencial
), então a integral de linha entre dois pontos
e
independe do caminho e vale simplesmente a diferença dos valores do potencial:
onde
é o ponto inicial e
o ponto final de
. Aqui
e
.
Isso significa que, para responder (a), podemos expressar a integral diretamente em termos de
; e para (b) basta avaliar
nos pontos inicial e final, sem integrar parametrizando a circunferência.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
(a) A integral de linha cujo potencial é é
(a) A integral de linha cujo potencial é
(Isso decorre de
e
calculados no Passo 2.)
(b) Para o caminho
que vai de
até
, pela independência de caminho temos
Passo 6
Calculemos
e
de forma bem detalhada:
Simplificando passo a passo:
logo
Agora
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)