1. Suponha que para uma integral de linha independente de um caminho C foi determinada a função potencial f(x, y)=8 x+y^{2}-7 x^{2} y^{2}+y e^{2 x}.
    a. Qual era essa integral de linha?
    b. Se o caminho C era a porção da circunferência x^{2}+(y-1)^{2}=1, situada no primeiro quadrante, indo da origem ao ponto (0,2), qual o valor da integral de linha?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial
f(x,y)=8x+y^{2}-7x^{2}y^{2}+y e^{2x}
e afirma que a integral de linha considerada é independente do caminho C. Perguntas:
  1. (a) Qual era essa integral de linha? — isto é, qual forma \int_C P\,dx+Q\,dy tinha, sabendo que f é a função potencial.
  2. (b) Se C é a porção da circunferência \;x^{2}+(y-1)^{2}=1\; situada no primeiro quadrante, indo da origem ao ponto (0,2), qual o valor dessa integral de linha?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função potencial } f(x,y)=8x+y^{2}-7x^{2}y^{2}+y e^{2x},çã
a integral de linha é independente de caminho (portanto existe a função potencial que nos foi dada) e os pontos inicial e final do caminho C são (0,0) e (0,2), respectivamente.

Passo 2

Vamos obter os componentes da campo de vetores cujo potencial é f. Isso significa calcular as derivadas parciais de f.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(8x\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-7x^{2}y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y e^{2x}\bigr).
Agora calcule termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(8x)=8, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0,
\frac{\partial}{\partial x}(-7x^{2}y^{2})=-14x y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(y e^{2x})=y\cdot 2e^{2x}=2y e^{2x}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=8-14x y^{2}+2y e^{2x}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(8x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-7x^{2}y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{2x}\bigr).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(8x)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,
\frac{\partial}{\partial y}(-7x^{2}y^{2})=-14x^{2}y, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y e^{2x})=e^{2x}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-14x^{2}y+e^{2x}.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente o campo de vetores F e a integral de linha associada. Se f é função potencial, o campo de vetores é o gradiente de f:
F(x,y)=\nabla f(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr),
onde
P(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=8-14x y^{2}+2y e^{2x},
Q(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=2y-14x^{2}y+e^{2x}.
A integral de linha correspondente, ao longo de um caminho C, tem a forma
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}.

Passo 4

Aqui vem a ideia-chave (a que você usa na prova): o Teorema Fundamental para Integrais de Linha (ou Teorema do Gradiente) diz que, se F=\nabla f é um campo conservativo (isto é, tem função potencial f), então a integral de linha entre dois pontos A e B independe do caminho e vale simplesmente a diferença dos valores do potencial:
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A),
onde A é o ponto inicial e B o ponto final de C. Aqui d\mathbf{r}=(dx,dy) e \nabla f\cdot d\mathbf{r}=f_x\,dx+f_y\,dy.
Isso significa que, para responder (a), podemos expressar a integral diretamente em termos de f; e para (b) basta avaliar f nos pontos inicial e final, sem integrar parametrizando a circunferência.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso:
(a) A integral de linha cujo potencial é f é
\int_{C}\bigl(8-14x y^{2}+2y e^{2x}\bigr)\,dx+\bigl(2y-14x^{2}y+e^{2x}\bigr)\,dy.
(Isso decorre de P=f_{x} e Q=f_{y} calculados no Passo 2.)
(b) Para o caminho C que vai de A=(0,0) até B=(0,2), pela independência de caminho temos
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(0,2)-f(0,0).

Passo 6

Calculemos f(0,2) e f(0,0) de forma bem detalhada:
f(0,2)=8\cdot 0 + (2)^{2} -7\cdot 0^{2}\cdot 2^{2} + 2\cdot e^{2\cdot 0}.
Simplificando passo a passo:
8\cdot 0 = 0, \qquad (2)^{2}=4, \qquad -7\cdot 0^{2}\cdot 2^{2}=0, \qquad e^{2\cdot 0}=e^{0}=1,
logo
f(0,2)=0+4+0+2\cdot 1=6.
Agora
f(0,0)=8\cdot 0 + 0^{2} -7\cdot 0^{2}\cdot 0^{2} + 0\cdot e^{0}=0.
Portanto
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(0,2)-f(0,0)=6-0=6.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\bigl(8-14x y^{2}+2y e^{2x}\bigr)\,dx+\bigl(2y-14x^{2}y+e^{2x}\bigr)\,dy.
(b) 6

Exercícios relacionados