Considere um fio reto, longo e infinitamente estendido, carregado uniformemente com densidade linear de carga
.
(a)
Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico
a uma distância
do fio. (b)
Calcule a diferença de potencial entre dois pontos a e
, situados a distâncias radiais
e
do fio. (c)
Discuta a dificuldade de definir o potencial elétrico tomando como referência
no infinito. O que essa dificuldade nos ensina sobre a escolha do referencial de potencial em distribuições infinitas de carga?
(a)
Passo 1
O enunciado dá um fio reto, infinito e uniformemente carregado com densidade linear de carga
. Pede três coisas:
- (a) Determinar o campo elétrico
a uma distância radial do fio. - (b) Calcular a diferença de potencial entre dois pontos
e situados a distâncias radiais (para ) e (para ) do fio. - (c) Discutir a dificuldade de definir o potencial elétrico tomando como referência
no infinito e o que isso nos ensina sobre a escolha de referencial para distribuições de carga infinitas.
Todas as informações relevantes: fio infinito, densidade linear
, pontos a distâncias radiais
e
. Não há outras condições (por exemplo valor de potencial em algum ponto), portanto o potencial será definido até uma constante aditiva.
Passo 2
Simetria e escolha da superfície de Gauss — explicação didática:
Para um fio infinito e reto com carga uniformemente distribuída, o campo elétrico tem simetria cilíndrica. Isso significa que:
Para um fio infinito e reto com carga uniformemente distribuída, o campo elétrico tem simetria cilíndrica. Isso significa que:
- O módulo do campo depende só da distância radial
ao fio (não depende do ângulo ao redor do fio nem da coordenada ao longo do fio). - O campo aponta radialmente para fora (já que
), ou seja, na direção do vetor unitário radial .
Dada essa simetria, a superfície de Gauss natural é um cilindro coaxial com o fio, de raio
(a distância onde queremos o campo) e comprimento
(uma altura arbitrária que facilita os cálculos). Vou usar essa superfície porque sobre o casco lateral do cilindro o campo é perpendicular à superfície e uniforme em módulo, enquanto nas tampas (bases) o campo é paralelo à superfície (logo não contribui para o fluxo).
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss — escrita e explicação das quantidades:
A Lei de Gauss diz que
A Lei de Gauss diz que
onde
é a integral de fluxo sobre a superfície fechada,
é a carga total contida no volume limitado pela superfície e
é a permissividade do vácuo. Aqui:
- A carga encerrada pelo cilindro de comprimento
é (pois é carga por unidade de comprimento). - O fluxo total atravessa somente o casco lateral do cilindro, pois nas tampas a superfície é paralela ao campo e
lá.
No casco lateral o campo tem módulo
constante e o elemento de área total é
. Logo o fluxo é
Passo 4
Resolver a equação de Gauss para
:
Substituindo na Lei de Gauss,
Substituindo na Lei de Gauss,
Cancelando
(que era arbitrário) obtemos
Como vetor, lembrando que o campo é radial e para fora,
Explicação das variáveis:
é densidade linear de carga (C/m),
é constante do vácuo,
é distância radial ao fio, e
é o vetor unitário radial. Observação física: para
o campo tende a zero como
; para
o campo cresce sem limite.
Passo 5
Preparação para calcular diferença de potencial — relação entre campo e potencial:
O potencial escalar e o campo elétrico relacionam-se por
O potencial escalar
ou, para dois pontos ligados por um caminho radial (aproveitando a simetria), a diferença de potencial entre um ponto inicial em
e um final em
é
Aqui
é o diferencial de deslocamento no caminho; como vamos integrar radialmente,
(com escolha do sinal apropriado conforme a direção do
).
Passo 6
Cálculo explícito da diferença de potencial entre
(em
) e
(em
):
Escolhendo o caminho radial de até
, temos
Escolhendo o caminho radial de
Substituindo
obtemos
Portanto
Reescrevendo para
(pode ser mais prático conforme o enunciado):
Mas observe que ambas as formas são equivalentes; escolha conforme a ordem que você queira. Em forma compacta, a diferença de potencial entre dois raios
e
é
Passo 7
Expressão do potencial referenciado em um raio arbitrário
(útil para provas):
Como não podemos usar o infinito (ver depois), costumamos escolher um raio de referência onde fixamos
(geralmente
para simplicidade). Integrando de
até
,
Como não podemos usar o infinito (ver depois), costumamos escolher um raio de referência
Escolhendo
dá a forma prática
Aqui fica claro que
é definido apenas até uma constante (dependente de
).
Passo 8
Discussão sobre a referência no infinito — por que não dá para pôr
:
Se tentarmos definir
Se tentarmos definir
a integral
diverge logaritmicamente (pois
). Portanto
não é um número finito consistente com essa definição: a diferença fica divergente. Conclusão: para a distribuição infinita (fio infinito) o potencial em infinito não é um referencial válido (não existe
finito natural).
O que isso nos ensina sobre a escolha do referencial:
- Em distribuições infinitas, muitas vezes o potencial em infinito não é finito, então não podemos usar
. - O potencial físico relevante é sempre a diferença de potencial entre pontos (isso é o que se mede). Podemos escolher um referencial conveniente em um ponto finito
e escrever em relação a esse referencial. - Na prática em exercícios e provas, escolha um
simples (por exemplo unidade ou o próprio ou ) e trabalhe com potencias relativos; sempre destaque que há uma constante aditiva arbitrária.
Resposta
(a)
(b)
, ou equivalente
(c) Não é possível tomar
porque
diverge; assim o potencial relativo ao infinito seria infinito. Para distribuições infinitas deve-se escolher um referencial de potencial em um ponto finito
(ou trabalhar só com diferenças de potencial), por exemplo
com
fixado.