(3,5) Considere um fio reto, longo e infinitamente estendido, carregado uniformemente com densidade linear de carga \lambda>0.
(a) (1,0) Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico E(r) a uma distância r do fio. (b) (2,0) Calcule a diferença de potencial entre dois pontos a e b, situados a distâncias radiais r_{s} e r_{b} do fio. (c) (0,5) Discuta a dificuldade de definir o potencial elétrico tomando como referência V=0 no infinito. O que essa dificuldade nos ensina sobre a escolha do referencial de potencial em distribuições infinitas de carga?

Passo 1

O enunciado dá um fio reto, infinito e uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda>0. Pede três coisas:
  • (a) Determinar o campo elétrico E(r) a uma distância radial \,r do fio.
  • (b) Calcular a diferença de potencial entre dois pontos a e b situados a distâncias radiais \,r_{s} (para a) e \,r_{b} (para b) do fio.
  • (c) Discutir a dificuldade de definir o potencial elétrico tomando como referência V=0 no infinito e o que isso nos ensina sobre a escolha de referencial para distribuições de carga infinitas.
Todas as informações relevantes: fio infinito, densidade linear \lambda, pontos a distâncias radiais \,r_s e \,r_b. Não há outras condições (por exemplo valor de potencial em algum ponto), portanto o potencial será definido até uma constante aditiva.

Passo 2

Simetria e escolha da superfície de Gauss — explicação didática:
Para um fio infinito e reto com carga uniformemente distribuída, o campo elétrico tem simetria cilíndrica. Isso significa que:
  • O módulo do campo depende só da distância radial r ao fio (não depende do ângulo ao redor do fio nem da coordenada ao longo do fio).
  • O campo aponta radialmente para fora (já que \lambda>0), ou seja, na direção do vetor unitário radial \hat{r}.
Dada essa simetria, a superfície de Gauss natural é um cilindro coaxial com o fio, de raio r (a distância onde queremos o campo) e comprimento L (uma altura arbitrária que facilita os cálculos). Vou usar essa superfície porque sobre o casco lateral do cilindro o campo é perpendicular à superfície e uniforme em módulo, enquanto nas tampas (bases) o campo é paralelo à superfície (logo não contribui para o fluxo).

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss — escrita e explicação das quantidades:
A Lei de Gauss diz que
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \oint_{\partial V} é a integral de fluxo sobre a superfície fechada, Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui:
  • A carga encerrada pelo cilindro de comprimento L é Q_{\text{int}}=\lambda L (pois \lambda é carga por unidade de comprimento).
  • O fluxo total atravessa somente o casco lateral do cilindro, pois nas tampas a superfície é paralela ao campo e \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 lá.
No casco lateral o campo tem módulo E(r) constante e o elemento de área total é 2\pi r L. Logo o fluxo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).

Passo 4

Resolver a equação de Gauss para E(r):
Substituindo na Lei de Gauss,
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L (que era arbitrário) obtemos
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Como vetor, lembrando que o campo é radial e para fora,
\mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat{r}.
Explicação das variáveis: \lambda é densidade linear de carga (C/m), \varepsilon_0 é constante do vácuo, r é distância radial ao fio, e \hat{r} é o vetor unitário radial. Observação física: para r\to\infty o campo tende a zero como 1/r; para r\to0 o campo cresce sem limite.

Passo 5

Preparação para calcular diferença de potencial — relação entre campo e potencial:
O potencial escalar V e o campo elétrico relacionam-se por
\mathbf{E}=-\nabla V,
ou, para dois pontos ligados por um caminho radial (aproveitando a simetria), a diferença de potencial entre um ponto inicial em r=r_1 e um final em r=r_2 é
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Aqui d\boldsymbol{\ell} é o diferencial de deslocamento no caminho; como vamos integrar radialmente, \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=E(r)\,dr (com escolha do sinal apropriado conforme a direção do \,dr).

Passo 6

Cálculo explícito da diferença de potencial entre a (em r_s) e b (em r_b):
Escolhendo o caminho radial de r_s até r_b, temos
V(b)-V(a) = -\int_{r_s}^{r_b} E(r)\,dr.
Substituindo E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} obtemos
V(b)-V(a) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_{r_s}^{r_b}\frac{dr}{r} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\ln r\right]_{r_s}^{r_b}.
Portanto
V(b)-V(a) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_s}\right).
Reescrevendo para V(a)-V(b) (pode ser mais prático conforme o enunciado):
V(a)-V(b)= -\big(V(b)-V(a)\big)= -\left(-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_s}\right)\right) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_s}\right).
Mas observe que ambas as formas são equivalentes; escolha conforme a ordem que você queira. Em forma compacta, a diferença de potencial entre dois raios r_1 e r_2 é
V(r_2)-V(r_1)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).

Passo 7

Expressão do potencial referenciado em um raio arbitrário r_0 (útil para provas):
Como não podemos usar o infinito (ver depois), costumamos escolher um raio de referência r_0 onde fixamos V(r_0)=V_0 (geralmente V_0=0 para simplicidade). Integrando de r_0 até r,
V(r)-V(r_0)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right).
Escolhendo V(r_0)=0 dá a forma prática
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right).
Aqui fica claro que V é definido apenas até uma constante (dependente de r_0).

Passo 8

Discussão sobre a referência no infinito — por que não dá para pôr V(\infty)=0:
Se tentarmos definir
V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{dr'}{r'},
a integral \int_{\infty}^{r}\dfrac{dr'}{r'} diverge logaritmicamente (pois \int_{R}^{\infty}\dfrac{dr'}{r'}=\lim_{M\to\infty}\ln(M/R)=\infty). Portanto V(\infty) não é um número finito consistente com essa definição: a diferença fica divergente. Conclusão: para a distribuição infinita (fio infinito) o potencial em infinito não é um referencial válido (não existe V(\infty)=0 finito natural).
O que isso nos ensina sobre a escolha do referencial:
  • Em distribuições infinitas, muitas vezes o potencial em infinito não é finito, então não podemos usar V(\infty)=0.
  • O potencial físico relevante é sempre a diferença de potencial entre pontos (isso é o que se mede). Podemos escolher um referencial conveniente em um ponto finito r_0 e escrever V(r) em relação a esse referencial.
  • Na prática em exercícios e provas, escolha um r_0 simples (por exemplo r_0=1 unidade ou o próprio r_s ou r_b) e trabalhe com potencias relativos; sempre destaque que há uma constante aditiva arbitrária.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat{r}.
(b) \displaystyle V(a)-V(b)= -\big(V(b)-V(a)\big)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_s}\right), ou equivalente \displaystyle V(b)-V(a)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_s}\right).
(c) Não é possível tomar V(\infty)=0 porque \displaystyle\int^{\infty}\frac{dr}{r} diverge; assim o potencial relativo ao infinito seria infinito. Para distribuições infinitas deve-se escolher um referencial de potencial em um ponto finito r_0 (ou trabalhar só com diferenças de potencial), por exemplo \displaystyle V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right) com V(r_0) fixado.

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