(2.5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da funçāo z=f(x, y) dada por
z=x^{2}+y^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Desenhar algumas curvas de nível da função z=f(x,y) dada por
z = x^{2}+y^{2}-2.
  1. Esboçar o gráfico da mesma função em 3D (ou seja, um esboço do sólido/ superfície z=x^{2}+y^{2}-2).
Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2,
ou seja, para cada ponto (x,y) no plano eu encontro a altura z através dessa fórmula. O pedido é: escolher alguns níveis z=c, desenhar as curvas obtidas no plano xy e, a partir disso, esboçar o formato da superfície no espaço.

Passo 2

O que é uma curva de nível? Vou te ensinar passo a passo: uma curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que a função vale exatamente c. Matematicamente:
\text{curva de nível para } c: \quad f(x,y)=c.í
Aplicando à nossa função:
x^{2}+y^{2}-2=c.
Rearranjando:
x^{2}+y^{2}=c+2.
Essa é a equação que vamos usar para cada escolha de c. Não avance ainda — primeiro vamos entender o que essa equação representa.

Passo 3

Interpretação da equação das curvas de nível:
  • A equação \;x^{2}+y^{2}=c+2\; é a equação de um círculo centrado em (0,0) com raio
r=\sqrt{c+2},
desde que c+2\ge 0. Portanto só existem curvas de nível quando
c\ge -2.
  • Se c=-2 então r=0: a “curva” é apenas o ponto (0,0).
  • Para c>-2 obtemos círculos concêntricos de raios \sqrt{c+2}.
Isso já nos dá a ideia física: horizontalmente, as fatias do sólido são círculos concêntricos; verticalmente, eles aumentam de raio conforme z cresce.

Passo 4

Escolhendo exemplos concretos (para desenhar na prova sem complicação):
Pegamos alguns valores de c fáceis e calculamos o raio r=\sqrt{c+2}.
\begin{aligned} c&=-2 &\Rightarrow&\quad x^{2}+y^{2}=0 &\Rightarrow&\quad r=0 \\\ c&=-1 &\Rightarrow&\quad x^{2}+y^{2}=1 &\Rightarrow&\quad r=1 \\\ c&=0 &\Rightarrow&\quad x^{2}+y^{2}=2 &\Rightarrow&\quad r=\sqrt{2}\approx 1,414 \\\ c&=1 &\Rightarrow&\quad x^{2}+y^{2}=3 &\Rightarrow&\quad r=\sqrt{3}\approx 1,732 \\\ c&=2 &\Rightarrow&\quad x^{2}+y^{2}=4 &\Rightarrow&\quad r=2 \end{aligned}
Esses cinco níveis já são suficientes para um esboço claro: um ponto no centro ( c=-2) e círculos concêntricos com raios 1,\sqrt{2},\sqrt{3},2.

Passo 5

Como desenhar as curvas de nível no papel (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenha os eixos x e y no plano.
  2. Marca o ponto (0,0).
  3. Com um compasso (ou à mão livre) desenha círculos centrados em (0,0) com os raios calculados: 0 (ponto), 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2.
  4. Rotula cada círculo com o valor de c correspondente (por exemplo escrever ao lado do círculo: c=0, c=1, etc.). Isso ajuda a ver que círculos maiores correspondem a alturas z maiores.
  5. Lembre-se de que não existem curvas para c<-2; portanto o mapa de nível começa em c=-2.
Dica: quanto mais próximos entre si estiverem os círculos para variações pequenas de c, mais inclinada (íngreme) é a superfície naquela região; aqui, perto do centro a superfície tem curvatura acentuada.

Passo 6

Entendendo o esboço 3D da superfície:
  • Faça um vínculo entre as curvas de nível e o gráfico 3D: cada curva de nível para c é a interseção da superfície com o plano horizontal z=c.
  • Observações importantes sobre a superfície \;z=x^{2}+y^{2}-2\;:
    • Vértice: na origem do plano de xy, o valor mínimo de z ocorre em (0,0), e vale
    z(0,0)=0^{2}+0^{2}-2=-2.Então o vértice está em (0,0,-2).
    • Simetria: a função depende apenas de x^{2}+y^{2}, logo a superfície é rotacionalmente simétrica em torno do eixo z (eixo vertical).
    • Forma: é um paraboloide circular que abre para cima (porque x^{2}+y^{2} cresce quando nos afastamos da origem).
  • Se você desenhar no espaço: primeiro marque o vértice em (0,0,-2), depois desenhe “bacias” parabólicas subindo ao redor, e indique algumas fatias horizontais (os círculos que desenhamos no passo anterior) para mostrar o aumento do raio conforme z aumenta.

Passo 7

Cortes transversais (úteis para o esboço): analisar cortes por planos que contêm o eixo z ajuda a desenhar a forma em 3D:
  • Corte por y=0: obtemos a curva no plano xz
z = x^{2}-2,
que é uma parábola com vértice em (0,-2) no plano xz.
  • Corte por x=0: obtemos
z = y^{2}-2,
mesma ideia no plano yz.
Esses cortes mostram claramente que, em qualquer direção radial, a seção é uma parábola com vértice em altura -2, reforçando o formato de “tigela” ou “paraboloide”.

Passo 8

Receita final rápida para fazer o esboço na prova (resumo prático):
  1. Desenha os eixos x,y,z.
  2. Marca o vértice (0,0,-2).
  3. Desenha duas parábolas de perfil (cortes y=0 e x=0) abrindo para cima com vértice em z=-2.
  4. Sobreponha as curvas de nível (círculos concêntricos) no plano horizontal para representar fatias em alturas c=-2,-1,0,1,2.
  5. Lembra de rotular os círculos com os valores de c e, se puder, marcar os raios calculados.
Está feito — com essas curvas e os cortes de perfil você tem um esboço claro do paraboloide deslocado para baixo. Você consegue — desenha devagar, rotula e fica ótimo!

Resposta

c=-2:\;x^{2}+y^{2}=0 (ponto (0,0)).
c=-1:\;x^{2}+y^{2}=1 (círculo de raio 1).
c=0:\;x^{2}+y^{2}=2 (círculo de raio \sqrt{2}\approx 1,414).
c=1:\;x^{2}+y^{2}=3 (círculo de raio \sqrt{3}\approx 1,732).
c=2:\;x^{2}+y^{2}=4 (círculo de raio 2).
Gráfico 3D: superfície é um paraboloide circular dado por z=x^{2}+y^{2}-2, com vértice em (0,0,-2), simétrico em torno do eixo z e abrindo para cima; as curvas de nível são círculos concêntricos de raio \sqrt{c+2} para c\ge -2.

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