(2.5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da funçāo
dada por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Desenhar algumas curvas de nível da função
dada por
- Esboçar o gráfico da mesma função em 3D (ou seja, um esboço do sólido/ superfície
).
Informações dadas:
ou seja, para cada ponto
no plano eu encontro a altura
através dessa fórmula. O pedido é: escolher alguns níveis
, desenhar as curvas obtidas no plano
e, a partir disso, esboçar o formato da superfície no espaço.
Passo 2
O que é uma curva de nível? Vou te ensinar passo a passo: uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
tais que a função vale exatamente
. Matematicamente:
Aplicando à nossa função:
Rearranjando:
Essa é a equação que vamos usar para cada escolha de
. Não avance ainda — primeiro vamos entender o que essa equação representa.
Passo 3
Interpretação da equação das curvas de nível:
- A equação
é a equação de um círculo centrado em com raio
desde que
. Portanto só existem curvas de nível quando
- Se
então : a “curva” é apenas o ponto . - Para
obtemos círculos concêntricos de raios .
Isso já nos dá a ideia física: horizontalmente, as fatias do sólido são círculos concêntricos; verticalmente, eles aumentam de raio conforme
cresce.
Passo 4
Escolhendo exemplos concretos (para desenhar na prova sem complicação):
Pegamos alguns valores de fáceis e calculamos o raio
.
Pegamos alguns valores de
Esses cinco níveis já são suficientes para um esboço claro: um ponto no centro (
) e círculos concêntricos com raios
.
Passo 5
Como desenhar as curvas de nível no papel (passo a passo prático para a prova):
- Desenha os eixos
e no plano. - Marca o ponto
. - Com um compasso (ou à mão livre) desenha círculos centrados em
com os raios calculados: (ponto), , , , . - Rotula cada círculo com o valor de
correspondente (por exemplo escrever ao lado do círculo: , , etc.). Isso ajuda a ver que círculos maiores correspondem a alturas maiores. - Lembre-se de que não existem curvas para
; portanto o mapa de nível começa em .
Dica: quanto mais próximos entre si estiverem os círculos para variações pequenas de
, mais inclinada (íngreme) é a superfície naquela região; aqui, perto do centro a superfície tem curvatura acentuada.
Passo 6
Entendendo o esboço 3D da superfície:
- Faça um vínculo entre as curvas de nível e o gráfico 3D: cada curva de nível para
é a interseção da superfície com o plano horizontal . - Observações importantes sobre a superfície
: - Vértice: na origem do plano de
, o valor mínimo de ocorre em , e vale
Então o vértice está em . - Simetria: a função depende apenas de
, logo a superfície é rotacionalmente simétrica em torno do eixo (eixo vertical). - Forma: é um paraboloide circular que abre para cima (porque
cresce quando nos afastamos da origem).
- Vértice: na origem do plano de
- Se você desenhar no espaço: primeiro marque o vértice em
, depois desenhe “bacias” parabólicas subindo ao redor, e indique algumas fatias horizontais (os círculos que desenhamos no passo anterior) para mostrar o aumento do raio conforme aumenta.
Passo 7
Cortes transversais (úteis para o esboço): analisar cortes por planos que contêm o eixo
ajuda a desenhar a forma em 3D:
- Corte por
: obtemos a curva no plano
que é uma parábola com vértice em
no plano
.
- Corte por
: obtemos
mesma ideia no plano
.
Esses cortes mostram claramente que, em qualquer direção radial, a seção é uma parábola com vértice em altura , reforçando o formato de “tigela” ou “paraboloide”.
Esses cortes mostram claramente que, em qualquer direção radial, a seção é uma parábola com vértice em altura
Passo 8
Receita final rápida para fazer o esboço na prova (resumo prático):
- Desenha os eixos
. - Marca o vértice
. - Desenha duas parábolas de perfil (cortes
e ) abrindo para cima com vértice em . - Sobreponha as curvas de nível (círculos concêntricos) no plano horizontal para representar fatias em alturas
. - Lembra de rotular os círculos com os valores de
e, se puder, marcar os raios calculados.
Está feito — com essas curvas e os cortes de perfil você tem um esboço claro do paraboloide deslocado para baixo. Você consegue — desenha devagar, rotula e fica ótimo!
Resposta
Gráfico 3D: superfície é um paraboloide circular dado por