Considere as duas sentenças S1 e S2 a seguir sobre a contribuição de James C. Maxwell para a teoria eletromagnética clássica. Marque a alternativa correta.
S1) Maxwell modificou a lei de Gauss local para o campo eletromagnético, introduzindo o termo conhecido como densidade de carga magnética.
S2) Maxwell modificou a lei de Ampère local, adicionando um termo proporcional ao vetor densidade de corrente de deslocamento.
Escolha uma opção:
◯ a. Nenhuma é verdadeira.
◯ b. Apenas S1 é verdadeira.
◯ c. Apenas S2 é verdadeira.
◯ d. Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas sentenças sobre contribuições de James C. Maxwell e pede para indicar quais são verdadeiras. As sentenças são:
  • S1) Maxwell modificou a lei de Gauss local para o campo eletromagnético, introduzindo o termo conhecido como densidade de carga magnética.
  • S2) Maxwell modificou a lei de Ampère local, adicionando um termo proporcional ao vetor densidade de corrente de deslocamento.
O que se pede: identificar quais dessas sentenças são verdadeiras (nenhuma, apenas S1, apenas S2 ou ambas).
Informações dadas no enunciado: as duas afirmações acima sobre modificações feitas por Maxwell às leis locais de Gauss e de Ampère.

Passo 2

Vamos escrever as formas locais (diferenciais) das leis relevantes e explicar cada símbolo, para ficarmos com a linguagem clara.
  • Lei de Gauss para o campo elétrico:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, \rho é a densidade de carga elétrica (carga por unidade de volume) e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Lei de Gauss para o campo magnético (no eletromagnetismo clássico sem monopolos magnéticos):
\nabla\cdot \mathbf{B} = 0,
onde \mathbf{B} é o campo magnético. Essa equação diz que não há “fontes” ou “sumidouros” de \mathbf{B} no espaço — isto é, não existem cargas magnéticas na formulação clássica usual.
  • Lei de Ampère na forma local (versão usada antes da correção de Maxwell, válida em regime estacionário):
\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J},
onde \mathbf{J} é a densidade de corrente elétrica (corrente por unidade de área) e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Aqui \nabla\times é o rotacional (curl) e \nabla\cdot é a divergência.
Explanação rápida dos operadores:
  • \nabla\cdot\mathbf{F} mede a taxa de “saída” de \mathbf{F} de um ponto (fontes/puits).
  • \nabla\times\mathbf{F} mede a rotação local do campo \mathbf{F}.

Passo 3

Mostro por que a forma original de Ampère tem um problema quando cargas variam no tempo — e por que foi necessária a modificação de Maxwell.
A conservação da carga elétrica está expressa pela equação de continuidade:
\label{continuidade} \nabla\cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Isto significa que a variação temporal da densidade de carga num volume é compensada pela corrente que sai ou entra desse volume.
Agora, tome a divergência da forma original de Ampère \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}. Como a divergência do rotacional é sempre zero, tem-se:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0 \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot(\mu_0\mathbf{J}) = 0.
Portanto,
\nabla\cdot \mathbf{J} = 0.
Se isso fosse sempre verdadeiro, a equação de continuidade (???) implicaria \partial\rho/\partial t = 0, ou seja, a densidade de carga não poderia variar no tempo. Isso é absurdo, porque experimentos e situações físicas têm cargas variando no tempo (capacitores carregando/descarregando etc.). Logo, a forma \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} é inconsistente com conservação de carga quando \rho depende do tempo.

Passo 4

Mostro a correção de Maxwell e por que ela resolve o problema.
Maxwell acrescentou um termo ao lado direito da equação de Ampère, obtendo a forma completa conhecida como lei de Ampère–Maxwell:
\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Aqui o novo termo \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} é proporcional ao vetor \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}; em física costuma-se chamar o vetor \varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} de densidade de corrente de deslocamento (ou corrente de deslocamento por unidade de área, informalmente “corrente de deslocamento”).
Para verificar que isso corrige a inconsistência, tome a divergência de ambos os lados:
\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{B}) = \nabla\cdot(\mu_0 \mathbf{J}) + \nabla\cdot\!\left(\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right).
Esquerda é zero, então
0 = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}).
Usando a lei de Gauss para \mathbf{E}, \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0, substitui-se e obtém-se:
0 = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) = \mu_0 \left(\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right).
Assim recobra-se exatamente a equação de continuidade:
\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Portanto a adição do termo \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} torna a equação consistente com a conservação da carga; esse termo é a chamada contribuição da corrente de deslocamento.

Passo 5

Interpretação das sentenças com base no que mostramos.
  • Sobre S1: “Maxwell modificou a lei de Gauss local para o campo eletromagnético, introduzindo o termo conhecido como densidade de carga magnética.”
    A lei local de Gauss para o campo magnético, na formulação clássica de Maxwell, é \nabla\cdot \mathbf{B}=0 — Maxwell não introduziu uma “densidade de carga magnética” (isto seria equivalente a monopólos magnéticos). Portanto S1 é falsa. (Observação: monopólos magnéticos são hipótese que aparece em extensões da teoria, mas não faziam parte das equações de Maxwell originais.)
  • Sobre S2: “Maxwell modificou a lei de Ampère local, adicionando um termo proporcional ao vetor densidade de corrente de deslocamento.”
    Isso corresponde exatamente à modificação que Maxwell fez: acrescentou o termo \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, que é proporcional ao vetor de corrente de deslocamento \varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. Portanto S2 é verdadeira.

Passo 6

Resumo didático curto e motivador: Maxwell não inventou cargas magnéticas na forma padrão das equações — ele manteve \nabla\cdot\mathbf{B}=0. O grande e famoso passo de Maxwell foi completar a lei de Ampère com o termo de corrente de deslocamento para garantir conservação de carga e permitir que campos elétricos variáveis no tempo gerassem campos magnéticos (fechando o ciclo que leva às ondas eletromagnéticas). Isso é exatamente o conteúdo de S2 e nega S1.

Resposta

c. Apenas S2 é verdadeira.

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