A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo pode ser escrita em termos da permissividade elétrica do vácuo e da permeabilidade magnética do vácuo através de qual fórmula?
Escolha uma opção:
◯ a. \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}
◯ b. 1 / \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}
◯ c. 1 /\left(\epsilon_{0} \mu_{0}\right)
◯ d. \left(\epsilon_{0} \mu_{0}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pergunta: qual é a fórmula que expressa a velocidade de propagação de uma onda eletromagnética no vácuo em termos da permissividade elétrica do vácuo e da permeabilidade magnética do vácuo?
  • Informações implícitas: aparecem as constantes \epsilon_{0} (permissividade elétrica do vácuo) e \mu_{0} (permeabilidade magnética do vácuo).
  • Resultado esperado: escolher entre as opções dadas uma expressão envolvendo \epsilon_{0} e \mu_{0}.

Passo 2

Relembrando as equações de Maxwell no vácuo (sem cargas nem correntes) — estas são as ferramentas que nos permitem deduzir a velocidade da onda:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico, \mathbf{B} é o campo magnético, \epsilon_{0} tem unidades de \text{F/m} (farad por metro) e \mu_{0} tem unidades de \text{H/m} (henry por metro). Essas últimas duas aparecem na lei de Ampère-Maxwell.

Passo 3

Vamos obter uma equação de onda para \mathbf{E}. Tomamos o rotacional da terceira equação (Faraday):
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr).
No lado direito substituímos a quarta equação:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) = -\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E}.
Como \nabla\cdot\mathbf{E}=0 no vácuo, a identidade reduz-se a
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\nabla^{2}\mathbf{E}.
Substituindo na equação do passo anterior obtemos a equação de onda para \mathbf{E}:
-\nabla^{2}\mathbf{E}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

A equação obtida é a equação clássica da onda no espaço para um campo vetorial. A forma geral da equação de onda unidimensional é
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}},
onde v é a velocidade de propagação. Comparando com
\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},
vemos que o fator \mu_{0}\epsilon_{0} corresponde a 1/v^{2}. Portanto
\frac{1}{v^{2}}=\mu_{0}\epsilon_{0} \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: a velocidade v que aparece é a velocidade da luz no vácuo, normalmente denotada por c. Assim
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}.
Usando os valores conhecidos \epsilon_{0}\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m} obtém-se numericamente c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}, consistente com a velocidade da luz.

Resposta

b. 1/\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}

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