Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
(\mathbb{Z}, \dot{\div})

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que o conjunto \mathbb{Z} com a operação \dot{\div} não é um grupo. Aqui vou entender \dot{\div} como a divisão usual entre inteiros, isto é, para a,b\in\mathbb{Z} definimos
a\dot{\div} b = \frac{a}{b}.
O que se pede: mostrar que a estrutura (\mathbb{Z},\dot{\div}) não satisfaz, pelo menos, um dos axiomas de grupo (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro bilateral, existência de inversos). Vou listar e testar esses axiomas.

Passo 2

Lembrete didático sobre o que é um grupo (abraçando o básico, sem pular passos). Uma estrutura (G,\star) é um grupo se, e somente se, as seguintes propriedades valem:
  1. (Fechamento) Para quaisquer x,y\in G, tem-se x\star y\in G.
    • Explicação: a operação aplicada a dois elementos do conjunto deve resultar sempre em um elemento do mesmo conjunto.
  2. (Associatividade) Para quaisquer x,y,z\in G, tem-se (x\star y)\star z = x\star(y\star z).
    • Explicação: a ordem de agrupamento não pode mudar o resultado.
  3. (Elemento neutro) Existe um e\in G tal que, para todo a\in G, e\star a = a e a\star e = a.
    • Explicação: é um elemento que deixa qualquer outro elemento “inalterado” tanto à esquerda quanto à direita.
  4. (Inversos) Para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a\star a^{-1} = e e a^{-1}\star a = e, onde e é o neutro.
    • Explicação: cada elemento deve ter um “oposto” que recomponha o neutro.
Se qualquer uma dessas falhar, (G,\star) não é grupo. Vou testar essas propriedades para (\mathbb{Z},\dot{\div}).

Passo 3

Testar fechamento: pegue 1,2\in\mathbb{Z}.
Calcule
1\dot{\div}2=\frac{1}{2}.
Mas \dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}. Portanto a operação não é fechada em \mathbb{Z}: aplicar \dot{\div} a dois inteiros pode produzir um racional que não é inteiro. Como fechamento é um requisito obrigatório de grupo, este contraexemplo já basta para concluir que (\mathbb{Z},\dot{\div}) não é grupo.

Passo 4

Mesmo sem precisar desse passo para decidir, vale ver o que acontece com o neutro, porque é didático. Suponha que exista e\in\mathbb{Z} neutro para \dot{\div}. Então para todo a\in\mathbb{Z} deveríamos ter
a\dot{\div} e = a \quad\text{e}\quad e\dot{\div} a = a.
Da primeira igualdade, para a\neq 0, temos \dfrac{a}{e}=a, o que implica e=1. Logo, se existir neutro ele deve ser 1. Mas verifique a segunda igualdade com e=1:
1\dot{\div} a = \frac{1}{a}.
Para isso ser igual a a para todo a seria necessário \dfrac{1}{a}=a para todo a, o que é impossível (só vale para a=\pm1). Assim não existe um elemento e\in\mathbb{Z} que seja neutro à esquerda e à direita simultaneamente. Conclusão: não há elemento neutro bilateral em (\mathbb{Z},\dot{\div}).

Passo 5

Outra propriedade que falha é a associatividade. Tome, por exemplo, a=8, b=4, c=2 em \mathbb{Z}. Calcule os dois agrupamentos:
(a\dot{\div} b)\dot{\div} c = \left(\frac{8}{4}\right)\dot{\div}2 = 2\dot{\div}2 = \frac{2}{2}=1,
enquanto
a\dot{\div}(b\dot{\div} c)=8\dot{\div}\left(\frac{4}{2}\right)=8\dot{\div}2=\frac{8}{2}=4.
Como 1\neq 4, temos (a\dot{\div} b)\dot{\div} c \neq a\dot{\div}(b\dot{\div} c). Logo \dot{\div} não é associativa em \mathbb{Z}.

Passo 6

Mesmo que ignorássemos os problemas acima, a existência de inversos também seria problemática: para existir inverso de a (com respeito a algum neutro e), seria preciso que esse inverso fosse um inteiro b tal que \dfrac{a}{b}=e e \dfrac{b}{a}=e. Como já vimos, não há um neutro bilateral, então a noção de inverso bilateral não faz sentido globalmente aqui. Se tentarmos forçar e=1 (que é neutro à direita), ainda assim muitos inversos não pertencem a \mathbb{Z} (ex.: o “inverso” de 2 que satisfaça 2\dot{\div}b=1 é b=2, ok nesse caso; mas para 3 o b que satisfaz 3\dot{\div}b=1 é b=3 — esses funcionam à direita; contudo a simetria necessária para inverso bilateral falha porque b\dot{\div}a não volta a 1 para todos os a,b consistentemente, e além disso muitos querem inversos que não são inteiros quando a definição exigir). Em resumo: inversos bilaterais não existem de maneira compatível com os outros axiomas.

Passo 7

Já com o contraexemplo da não-fechamento (por exemplo 1\dot{\div}2\notin\mathbb{Z}) fica claro que (\mathbb{Z},\dot{\div}) não pode ser um grupo. Além disso, a operação não é associativa (ex.: (8\dot{\div}4)\dot{\div}2\neq 8\dot{\div}(4\dot{\div}2)) e não existe elemento neutro bilateral em \mathbb{Z} para essa operação. Qualquer uma dessas falhas basta para afirmar que não é grupo; aqui existem várias falhas.

Resposta

(\mathbb{Z},\dot{\div}) não é grupo, pois a operação não é fechada (por exemplo \;1\dot{\div}2=\tfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}), não é associativa (por exemplo (8\dot{\div}4)\dot{\div}2\neq 8\dot{\div}(4\dot{\div}2)) e não existe elemento neutro bilateral em \mathbb{Z} para essa operação.

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