Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que o conjunto
com a operação
não é um grupo. Aqui vou entender
como a divisão usual entre inteiros, isto é, para
definimos
O que se pede: mostrar que a estrutura
não satisfaz, pelo menos, um dos axiomas de grupo (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro bilateral, existência de inversos). Vou listar e testar esses axiomas.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que é um grupo (abraçando o básico, sem pular passos). Uma estrutura
é um grupo se, e somente se, as seguintes propriedades valem:
-
(Fechamento) Para quaisquer
, tem-se . - Explicação: a operação aplicada a dois elementos do conjunto deve resultar sempre em um elemento do mesmo conjunto.
-
(Associatividade) Para quaisquer
, tem-se . - Explicação: a ordem de agrupamento não pode mudar o resultado.
-
(Elemento neutro) Existe um
tal que, para todo , e . - Explicação: é um elemento que deixa qualquer outro elemento “inalterado” tanto à esquerda quanto à direita.
-
(Inversos) Para cada
existe tal que e , onde é o neutro. - Explicação: cada elemento deve ter um “oposto” que recomponha o neutro.
Se qualquer uma dessas falhar,
não é grupo. Vou testar essas propriedades para
.
Passo 3
Testar fechamento: pegue
.
Calcule
Calcule
Mas
. Portanto a operação não é fechada em
: aplicar
a dois inteiros pode produzir um racional que não é inteiro. Como fechamento é um requisito obrigatório de grupo, este contraexemplo já basta para concluir que
não é grupo.
Passo 4
Mesmo sem precisar desse passo para decidir, vale ver o que acontece com o neutro, porque é didático. Suponha que exista
neutro para
. Então para todo
deveríamos ter
Da primeira igualdade, para
, temos
, o que implica
. Logo, se existir neutro ele deve ser
. Mas verifique a segunda igualdade com
:
Para isso ser igual a
para todo
seria necessário
para todo
, o que é impossível (só vale para
). Assim não existe um elemento
que seja neutro à esquerda e à direita simultaneamente. Conclusão: não há elemento neutro bilateral em
.
Passo 5
Outra propriedade que falha é a associatividade. Tome, por exemplo,
,
,
em
. Calcule os dois agrupamentos:
enquanto
Como
, temos
. Logo
não é associativa em
.
Passo 6
Mesmo que ignorássemos os problemas acima, a existência de inversos também seria problemática: para existir inverso de
(com respeito a algum neutro
), seria preciso que esse inverso fosse um inteiro
tal que
e
. Como já vimos, não há um neutro bilateral, então a noção de inverso bilateral não faz sentido globalmente aqui. Se tentarmos forçar
(que é neutro à direita), ainda assim muitos inversos não pertencem a
(ex.: o “inverso” de
que satisfaça
é
, ok nesse caso; mas para
o
que satisfaz
é
— esses funcionam à direita; contudo a simetria necessária para inverso bilateral falha porque
não volta a
para todos os
consistentemente, e além disso muitos querem inversos que não são inteiros quando a definição exigir). Em resumo: inversos bilaterais não existem de maneira compatível com os outros axiomas.
Passo 7
Já com o contraexemplo da não-fechamento (por exemplo
) fica claro que
não pode ser um grupo. Além disso, a operação não é associativa (ex.:
) e não existe elemento neutro bilateral em
para essa operação. Qualquer uma dessas falhas basta para afirmar que não é grupo; aqui existem várias falhas.