Considere as duas sentenças seguintes, expressas na linguagem da lógica proposicional,
e
verificando, analiticamente (isto é, sem o uso de tabela da verdade) se elas são logicamente equivalentes. Faça também uma verificação para os seguintes pares de sentenças:
e
;
e
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais sentenças temos para comparar.
- O enunciado pede: verificar, analiticamente (sem tabela verdade), se os pares de sentenças abaixo são logicamente equivalentes (ou seja, têm exatamente as mesmas valorizações verdadeiras em todas as interpretações).
Os pares a verificar são:
-
e . -
e . -
e .
Observações sobre o que temos: cada par contém duas fórmulas proposicionais e a tarefa é dizer se, para qualquer atribuição de verdade às letras proposicionais, as duas fórmulas têm sempre o mesmo valor lógico. Não vamos usar tabelas; vamos usar equivalências lógicas, regras de inferência e, quando necessário, contraexemplos (atribuições específicas de verdade) para mostrar falta de equivalência.
Passo 2
Ferramentas básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
- Equivalência da implicação:
é equivalente a . Isso vem da definição de implicação: a única situação que torna falsa é verdadeiro e falso; a disjunção tem exatamente a mesma tabela. - Modus ponens (regra de inferência): de
e segue . - Prova condicional (conditional proof): para demonstrar que
é consequência de algumas hipóteses, assume-se e tenta-se derivar ; se conseguir, conclui-se . - Leis algébricas úteis: De Morgan, associatividade, comutatividade, e a tautologia
(princípio do terceiro excluído).
Vou aplicar essas ferramentas passo a passo nos pares.
Passo 3
Análise do par 1:
versus
.
a) Mostrar que
implica logicamente
(ou seja, toda interpretação que torna a primeira verdadeira torna a segunda verdadeira).
- Começo por uma prova por condicional: suponha
verdadeira. Então tenho as duas hipóteses separadas: -
-
.
-
- Para provar
faço uma suposição provisória: suponha verdadeira. - Pela hipótese
e pelo fato verdadeiro, por modus ponens obtenho verdadeiro. - Pela hipótese
e pelo fato verdadeiro, por modus ponens obtenho verdadeiro. - Assim, partindo de
obtive ; por prova condicional, isso permite concluir . - Portanto, toda interpretação que torna
verdadeira também torna verdadeira. Em notação de consequência: .
b) Mostrar que a recíproca não vale (isto é, que
não implica necessariamente
). Para isso basta um contraexemplo (uma atribuição de valores) que faça
verdadeira e
falsa.
- Considere a atribuição:
é verdadeira, é falsa, é verdadeira. - Avaliando:
-
é verdadeiro porque é verdadeiro (se é verdadeiro, é verdadeira). -
é falso porque é verdadeiro e é falso. -
é verdadeiro porque é verdadeiro (mesma razão). - Logo
é falso (conjunção com um membro falso).
-
- Assim temos uma interpretação que satisfaz
mas não satisfaz . Portanto não há equivalência lógica entre as duas fórmulas: a implicação no sentido inverso falha.
Conclusão do par 1: não são logicamente equivalentes. (Expliquei por que uma implica a outra, mas a recíproca falha com contraexemplo.)
Passo 4
Agora o par 2:
e
.
Primeiro vou transformar
usando equivalência da implicação:
Aplicando De Morgan em
:
portanto
Por associatividade e comutatividade da disjunção reagrupamos:
Mas
é uma tautologia (lei do terceiro excluído): sempre verdadeiro. Uma disjunção que tem um membro sempre verdadeiro é sempre verdadeira; logo
é sempre verdadeira independentemente do valor de
. Portanto
é uma tautologia (é verdadeira para toda atribuição de valor das variáveis).
A outra fórmula
é exatamente a forma canônica da lei do terceiro excluído; por definição é uma tautologia.
Como ambas as fórmulas são tautologias (sempre verdade), elas têm exatamente as mesmas valorizações (sempre verdade) em todas as interpretações. Logo são logicamente equivalentes.
Explicação intuitiva curta:
é trivialmente verdadeira porque sempre que
ocorre,
já ocorre; nos demais casos a implicação é verdadeira por definição. Assim é tautologia, assim como
.
Passo 5
Agora o par 3:
e
.
Faço primeiro uma transformação para ver as formas canônicas:
- A primeira fórmula distribui com
:
- A segunda fórmula pode ser escrita como
Agora compare as formas: a primeira é a disjunção
, a segunda é apenas um caso conjunção
. Para serem logicamente equivalentes, cada interpretação que torna a primeira verdadeira teria de tornar a segunda verdadeira e vice-versa.
Mostro que não são equivalentes exibindo um contraexemplo (atribuição de verdade) que torna a primeira verdadeira e a segunda falsa.
Considere a atribuição:
verdadeira,
verdadeira,
verdadeira.
- Avaliando a primeira fórmula:
-
é . - Então
é .
-
- Avaliando a segunda fórmula:
-
é falso (pois é verdadeiro). - Logo
é .
-
- Assim há uma interpretação que satisfaz a primeira fórmula e não satisfaz a segunda; portanto não são logicamente equivalentes.
Observação adicional (intuitiva): a primeira permite o caso
e
verdadeiros (independente de
ser verdadeiro), enquanto a segunda exige especificamente que
seja falso e
verdadeiro; são condições incompatíveis em geral.