Gere e apresente 10 pares de sentenças expressas em língua portuguesa, traduza-os para a linguagem da lógica proposicional e mostre quais os pares são equivalentes e quais não são. Escolha os 10 pares de tal maneira que metade dos pares são equivalentes e a outra metade não são pares equivalentes. Exemplo de par (S1 e S2) de sentenças equivalentes:
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado e
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.

Passo 1

Vou explicar claramente o que você pediu e o que eu vou entregar. O enunciado pede:
  • Gerar e apresentar 10 pares de sentenças em português.
  • Traduzir cada sentença para a linguagem da lógica proposicional (usando letras proposicionais).
  • Mostrar quais dos pares são equivalentes e quais não são.
    Condição extra que vou obedecer: metade dos pares (ou seja, 5) devem ser pares equivalentes e a outra metade 5 não equivalentes.
    A partir do Passo 2 eu vou listar cada par (S1 e S2), indicar a tradução em lógica proposicional (explicando o que cada letra significa) e demonstrar didaticamente se são equivalentes — quando equivalentes farei uma prova por equivalências lógicas; quando não equivalentes apresentarei um contraexemplo (uma atribuição de valores de verdade) que mostra a diferença. Vou usar símbolos comuns:
  • \lnot para negação,
  • \wedge para “e”,
  • \vee para “ou” (inclusivo),
  • \rightarrow para “se … então …”,
  • \leftrightarrow para “se e somente se”,
  • \oplus para “ou exclusivo” (quando aparecer).

Passo 2

Par 1 — Sentenças (par equivalente exemplo clássico).
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado.
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.
Tradução em lógica proposicional (atribuição de átomos):
  • p: “Fulano mentiu.”
  • q: “Fulano é culpado.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \rightarrow q
\text{S2}:\quad \lnot q \rightarrow \lnot p

Passo 3

Par 1 — Verificação de equivalência (didática).
Aqui usamos a lei da contraposição: para qualquer proposição A e B,
A \rightarrow B \quad\text{é logicamente equivalente a}\quad \lnot B \rightarrow \lnot A.é
Prova rápida em álgebra booleana:
A \rightarrow B \equiv \lnot A \vee B.
\lnot B \rightarrow \lnot A \equiv \lnot(\lnot B) \vee \lnot A \equiv B \vee \lnot A \equiv \lnot A \vee B.
As duas expressões são idênticas; logo \,p \rightarrow q \equiv \lnot q \rightarrow \lnot p. Portanto o Par 1 é equivalente.

Passo 4

Par 2 — Sentenças (comutatividade do “e”).
S1: Fulano estudou e passou.
S2: Fulano passou e estudou.
Tradução:
  • p: “Fulano estudou.”
  • q: “Fulano passou.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \wedge q
\text{S2}:\quad q \wedge p

Passo 5

Par 2 — Verificação de equivalência (didática).
A conjunção é comutativa: para quaisquer A,B,
A \wedge B \equiv B \wedge A.
Isto porque a verdade de A\wedge B depende só de ambos serem verdadeiros; a ordem não importa. Assim p\wedge q \equiv q\wedge p. Portanto o Par 2 é equivalente.

Passo 6

Par 3 — Sentenças (implicação e negação de conjunção).
S1: Se chover, então a rua ficará molhada.
S2: Não é verdade que chover e a rua não ficar molhada.
Tradução:
  • p: “Chover.”
  • q: “A rua ficará molhada.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \rightarrow q
\text{S2}:\quad \lnot (p \wedge \lnot q)

Passo 7

Par 3 — Verificação de equivalência (didática).
Usamos a equivalência entre implicação e disjunção:
A \rightarrow B \equiv \lnot A \vee B.
Também aplicamos De Morgan:
\lnot(A \wedge \lnot B) \equiv \lnot A \vee \lnot\lnot B \equiv \lnot A \vee B.
As duas formas são iguais, então
p \rightarrow q \equiv \lnot (p \wedge \lnot q).
Portanto o Par 3 é equivalente.

Passo 8

Par 4 — Sentenças (De Morgan).
S1: Não (Fulano estudou e passou).
S2: Fulano não estudou ou não passou.
Tradução:
  • p: “Fulano estudou.”
  • q: “Fulano passou.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad \lnot (p \wedge q)
\text{S2}:\quad \lnot p \vee \lnot q

Passo 9

Par 4 — Verificação de equivalência (didática).
Esta é a famosa lei de De Morgan:
\lnot (A \wedge B) \equiv \lnot A \vee \lnot B.
A ideia intuitiva: negar “ambos” é dizer “pelo menos um não”. Portanto \lnot(p\wedge q)\equiv \lnot p \vee \lnot q. Então o Par 4 é equivalente.

Passo 10

Par 5 — Sentenças (bicondicional).
S1: Fulano foi à festa se e somente se Beltrano foi.
S2: Se Fulano foi à festa então Beltrano foi, e se Beltrano foi então Fulano foi.
Tradução:
  • p: “Fulano foi à festa.”
  • q: “Beltrano foi à festa.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \leftrightarrow q
\text{S2}:\quad (p \rightarrow q)\\ \wedge\\ (q \rightarrow p)

Passo 11

Par 5 — Verificação de equivalência (didática).
Definição do bicondicional:
p \leftrightarrow q \quad\text{significa}\quad (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p).
É a definição padrão: “se e somente se” equivale a duas implicações juntas (ida e volta). Logo p\leftrightarrow q \equiv (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow p). Portanto o Par 5 é equivalente.

Passo 12

Par 6 — Sentenças (converse, não equivalente).
S1: Se o alarme tocou, então houve um intruso.
S2: Se houve um intruso, então o alarme tocou.
Tradução:
  • p: “O alarme tocou.”
  • q: “Houve um intruso.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \rightarrow q
\text{S2}:\quad q \rightarrow p

Passo 13

Par 6 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Isto é um caso clássico: p\rightarrow q (implicação) não é em geral equivalente a q\rightarrow p (conversa). Para demonstrar, basta um contraexemplo (atribuição de valores de verdade) onde as fórmulas têm valores diferentes. Escolho a atribuição:
p=\text{Verdadeiro},\quad q=\text{Falso}.
Avaliação:
p\rightarrow q = \text{V} \rightarrow \text{F} = \text{F},
q\rightarrow p = \text{F} \rightarrow \text{V} = \text{V}.
Como os valores diferem, as fórmulas não são logicamente equivalentes. Portanto o Par 6 não é equivalente.

Passo 14

Par 7 — Sentenças (ou inclusivo vs ou exclusivo — não equivalentes).
S1: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa. (interpretação usual: “ou” inclusivo)
S2: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa, mas não ambos. (ou exclusivo)
Tradução:
  • p: “João foi ao cinema.”
  • q: “Maria ficou em casa.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \vee q
\text{S2}:\quad (p \vee q)\\ \wedge\\ \lnot (p \wedge q)
(ou equivalentemente \;p \oplus q\;).

Passo 15

Par 7 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Mostro que p\vee q não é equivalente a (p\vee q)\wedge\lnot(p\wedge q) porque a segunda exige que não ocorram os dois ao mesmo tempo. Contraexemplo:
p=\text{V},\quad q=\text{V}.
Avaliação:
p\vee q = \text{V}\vee\text{V} = \text{V},
(p\vee q)\wedge\lnot(p\wedge q) = \text{V}\wedge\lnot(\text{V}) = \text{V}\wedge\text{F} = \text{F}.
Valores diferentes => não equivalentes. Portanto o Par 7 não é equivalente.

Passo 16

Par 8 — Sentenças (associação / ordem na implicação composta — não equivalentes).
S1: Se (Se chover então a rua fica molhada) então haverá trânsito.
S2: Se chover então (se a rua fica molhada então haverá trânsito).
Tradução:
  • p: “Chover.”
  • q: “A rua fica molhada.”
  • r: “Haverá trânsito.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad (p \rightarrow q) \rightarrow r
\text{S2}:\quad p \rightarrow (q \rightarrow r)

Passo 17

Par 8 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Essas duas fórmulas têm estruturas diferentes e não são logicamente equivalentes. Forneço um contraexemplo:
Escolho valores:
p=\text{F},\quad q=\text{V},\quad r=\text{F}.
Avaliação de S1:
p\rightarrow q = \text{F}\rightarrow\text{V} = \text{V}.
(p\rightarrow q)\rightarrow r = \text{V}\rightarrow\text{F} = \text{F}.
Avaliação de S2:
q\rightarrow r = \text{V}\rightarrow\text{F} = \text{F}.
p\rightarrow (q\rightarrow r) = \text{F}\rightarrow\text{F} = \text{V}.
S1 dá \text{F} e S2 dá \text{V} — diferente, logo não equivalentes. Portanto o Par 8 não é equivalente.

Passo 18

Par 9 — Sentenças (distribuição/incorreta — não equivalentes).
S1: Acontece p ou (acontece q e r). (isto é p \vee (q \wedge r))
S2: (Acontece p ou q) e r. (isto é (p \vee q) \wedge r)
Tradução:
  • p,q,r como os três eventos naturais.
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \vee (q \wedge r)
\text{S2}:\quad (p \vee q) \wedge r

Passo 19

Par 9 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Verifique a atribuição:
p=\text{V},\quad q=\text{F},\quad r=\text{F}.
Avaliação:
p \vee (q \wedge r) = \text{V} \vee (\text{F}\wedge\text{F}) = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
(p \vee q) \wedge r = (\text{V}\vee\text{F}) \wedge \text{F} = \text{V}\wedge\text{F} = \text{F}.
Valores diferentes => fórmulas não equivalentes. Observação didática: a distributividade correta é
p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r),
não (p\vee q)\wedge r. Portanto Par 9 não é equivalente.

Passo 20

Par 10 — Sentenças (outra diferença de distribuição/associação — não equivalentes).
S1: Fulano estudou e (aprovou ou fez recuperação).
S2: (Fulano estudou e aprovou) ou fez recuperação.
Tradução:
  • p: “Fulano estudou.”
  • q: “Fulano aprovou.”
  • r: “Fulano fez recuperação.”
    Fórmulas:
\text{S1}:\quad p \wedge (q \vee r)
\text{S2}:\quad (p \wedge q) \vee r

Passo 21

Par 10 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Mostro um contraexemplo simples:
p=\text{F},\quad q=\text{F},\quad r=\text{V}.
Avaliação:
p \wedge (q \vee r) = \text{F} \wedge (\text{F}\vee\text{V}) = \text{F}\wedge\text{V} = \text{F}.
(p \wedge q) \vee r = (\text{F}\wedge\text{F}) \vee \text{V} = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
Diferem, logo não equivalentes. Observação didática: a conjunção não distribui sobre a disjunção exatamente desse modo; a forma correta de distribuir é
p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r).
Portanto p\wedge(q\vee r) não é equivalente a (p\wedge q)\vee r em geral.

Resposta

Par 1: Equivalente
Par 2: Equivalente
Par 3: Equivalente
Par 4: Equivalente
Par 5: Equivalente
Par 6: Não equivalente
Par 7: Não equivalente
Par 8: Não equivalente
Par 9: Não equivalente
Par 10: Não equivalente

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