Gere e apresente 10 pares de sentenças expressas em língua portuguesa, traduza-os para a linguagem da lógica proposicional e mostre quais os pares são equivalentes e quais não são. Escolha os 10 pares de tal maneira que metade dos pares são equivalentes e a outra metade não são pares equivalentes. Exemplo de par (S1 e S2) de sentenças equivalentes:
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado e
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado e
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.
Passo 1
Vou explicar claramente o que você pediu e o que eu vou entregar. O enunciado pede:
- Gerar e apresentar
pares de sentenças em português. - Traduzir cada sentença para a linguagem da lógica proposicional (usando letras proposicionais).
- Mostrar quais dos pares são equivalentes e quais não são.
Condição extra que vou obedecer: metade dos pares (ou seja,) devem ser pares equivalentes e a outra metade não equivalentes.
A partir do Passo 2 eu vou listar cada par (S1 e S2), indicar a tradução em lógica proposicional (explicando o que cada letra significa) e demonstrar didaticamente se são equivalentes — quando equivalentes farei uma prova por equivalências lógicas; quando não equivalentes apresentarei um contraexemplo (uma atribuição de valores de verdade) que mostra a diferença. Vou usar símbolos comuns: -
para negação, -
para “e”, -
para “ou” (inclusivo), -
para “se … então …”, -
para “se e somente se”, -
para “ou exclusivo” (quando aparecer).
Passo 2
Par 1 — Sentenças (par equivalente exemplo clássico).
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado.
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.
Tradução em lógica proposicional (atribuição de átomos):
S1: Se Fulano mentiu, então ele é culpado.
S2: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu.
Tradução em lógica proposicional (atribuição de átomos):
-
: “Fulano mentiu.” -
: “Fulano é culpado.”
Fórmulas:
Passo 3
Par 1 — Verificação de equivalência (didática).
Aqui usamos a lei da contraposição: para qualquer proposição e
,
Aqui usamos a lei da contraposição: para qualquer proposição
Prova rápida em álgebra booleana:
As duas expressões são idênticas; logo
. Portanto o Par 1 é equivalente.
Passo 4
Par 2 — Sentenças (comutatividade do “e”).
S1: Fulano estudou e passou.
S2: Fulano passou e estudou.
Tradução:
S1: Fulano estudou e passou.
S2: Fulano passou e estudou.
Tradução:
-
: “Fulano estudou.” -
: “Fulano passou.”
Fórmulas:
Passo 5
Par 2 — Verificação de equivalência (didática).
A conjunção é comutativa: para quaisquer ,
A conjunção é comutativa: para quaisquer
Isto porque a verdade de
depende só de ambos serem verdadeiros; a ordem não importa. Assim
. Portanto o Par 2 é equivalente.
Passo 6
Par 3 — Sentenças (implicação e negação de conjunção).
S1: Se chover, então a rua ficará molhada.
S2: Não é verdade que chover e a rua não ficar molhada.
Tradução:
S1: Se chover, então a rua ficará molhada.
S2: Não é verdade que chover e a rua não ficar molhada.
Tradução:
-
: “Chover.” -
: “A rua ficará molhada.”
Fórmulas:
Passo 7
Par 3 — Verificação de equivalência (didática).
Usamos a equivalência entre implicação e disjunção:
Usamos a equivalência entre implicação e disjunção:
Também aplicamos De Morgan:
As duas formas são iguais, então
Portanto o Par 3 é equivalente.
Passo 8
Par 4 — Sentenças (De Morgan).
S1: Não (Fulano estudou e passou).
S2: Fulano não estudou ou não passou.
Tradução:
S1: Não (Fulano estudou e passou).
S2: Fulano não estudou ou não passou.
Tradução:
-
: “Fulano estudou.” -
: “Fulano passou.”
Fórmulas:
Passo 9
Par 4 — Verificação de equivalência (didática).
Esta é a famosa lei de De Morgan:
Esta é a famosa lei de De Morgan:
A ideia intuitiva: negar “ambos” é dizer “pelo menos um não”. Portanto
. Então o Par 4 é equivalente.
Passo 10
Par 5 — Sentenças (bicondicional).
S1: Fulano foi à festa se e somente se Beltrano foi.
S2: Se Fulano foi à festa então Beltrano foi, e se Beltrano foi então Fulano foi.
Tradução:
S1: Fulano foi à festa se e somente se Beltrano foi.
S2: Se Fulano foi à festa então Beltrano foi, e se Beltrano foi então Fulano foi.
Tradução:
-
: “Fulano foi à festa.” -
: “Beltrano foi à festa.”
Fórmulas:
Passo 11
Par 5 — Verificação de equivalência (didática).
Definição do bicondicional:
Definição do bicondicional:
É a definição padrão: “se e somente se” equivale a duas implicações juntas (ida e volta). Logo
. Portanto o Par 5 é equivalente.
Passo 12
Par 6 — Sentenças (converse, não equivalente).
S1: Se o alarme tocou, então houve um intruso.
S2: Se houve um intruso, então o alarme tocou.
Tradução:
S1: Se o alarme tocou, então houve um intruso.
S2: Se houve um intruso, então o alarme tocou.
Tradução:
-
: “O alarme tocou.” -
: “Houve um intruso.”
Fórmulas:
Passo 13
Par 6 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Isto é um caso clássico: (implicação) não é em geral equivalente a
(conversa). Para demonstrar, basta um contraexemplo (atribuição de valores de verdade) onde as fórmulas têm valores diferentes. Escolho a atribuição:
Isto é um caso clássico:
Avaliação:
Como os valores diferem, as fórmulas não são logicamente equivalentes. Portanto o Par 6 não é equivalente.
Passo 14
Par 7 — Sentenças (ou inclusivo vs ou exclusivo — não equivalentes).
S1: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa. (interpretação usual: “ou” inclusivo)
S2: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa, mas não ambos. (ou exclusivo)
Tradução:
S1: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa. (interpretação usual: “ou” inclusivo)
S2: Ou João foi ao cinema ou Maria ficou em casa, mas não ambos. (ou exclusivo)
Tradução:
-
: “João foi ao cinema.” -
: “Maria ficou em casa.”
Fórmulas:
(ou equivalentemente
).
Passo 15
Par 7 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Mostro que não é equivalente a
porque a segunda exige que não ocorram os dois ao mesmo tempo. Contraexemplo:
Mostro que
Avaliação:
Valores diferentes => não equivalentes. Portanto o Par 7 não é equivalente.
Passo 16
Par 8 — Sentenças (associação / ordem na implicação composta — não equivalentes).
S1: Se (Se chover então a rua fica molhada) então haverá trânsito.
S2: Se chover então (se a rua fica molhada então haverá trânsito).
Tradução:
S1: Se (Se chover então a rua fica molhada) então haverá trânsito.
S2: Se chover então (se a rua fica molhada então haverá trânsito).
Tradução:
-
: “Chover.” -
: “A rua fica molhada.” -
: “Haverá trânsito.”
Fórmulas:
Passo 17
Par 8 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Essas duas fórmulas têm estruturas diferentes e não são logicamente equivalentes. Forneço um contraexemplo:
Escolho valores:
Essas duas fórmulas têm estruturas diferentes e não são logicamente equivalentes. Forneço um contraexemplo:
Escolho valores:
Avaliação de S1:
Avaliação de S2:
S1 dá
e S2 dá
— diferente, logo não equivalentes. Portanto o Par 8 não é equivalente.
Passo 18
Par 9 — Sentenças (distribuição/incorreta — não equivalentes).
S1: Acontece ou (acontece
e
). (isto é
)
S2: (Acontece ou
) e
. (isto é
)
Tradução:
S1: Acontece
S2: (Acontece
Tradução:
-
como os três eventos naturais.
Fórmulas:
Passo 19
Par 9 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Verifique a atribuição:
Verifique a atribuição:
Avaliação:
Valores diferentes => fórmulas não equivalentes. Observação didática: a distributividade correta é
não
. Portanto Par 9 não é equivalente.
Passo 20
Par 10 — Sentenças (outra diferença de distribuição/associação — não equivalentes).
S1: Fulano estudou e (aprovou ou fez recuperação).
S2: (Fulano estudou e aprovou) ou fez recuperação.
Tradução:
S1: Fulano estudou e (aprovou ou fez recuperação).
S2: (Fulano estudou e aprovou) ou fez recuperação.
Tradução:
-
: “Fulano estudou.” -
: “Fulano aprovou.” -
: “Fulano fez recuperação.”
Fórmulas:
Passo 21
Par 10 — Verificação de não equivalência (didática com contraexemplo).
Mostro um contraexemplo simples:
Mostro um contraexemplo simples:
Avaliação:
Diferem, logo não equivalentes. Observação didática: a conjunção não distribui sobre a disjunção exatamente desse modo; a forma correta de distribuir é
Portanto
não é equivalente a
em geral.
Resposta
Par 1: Equivalente
Par 2: Equivalente
Par 3: Equivalente
Par 4: Equivalente
Par 5: Equivalente
Par 6: Não equivalente
Par 7: Não equivalente
Par 8: Não equivalente
Par 9: Não equivalente
Par 10: Não equivalente
Par 2: Equivalente
Par 3: Equivalente
Par 4: Equivalente
Par 5: Equivalente
Par 6: Não equivalente
Par 7: Não equivalente
Par 8: Não equivalente
Par 9: Não equivalente
Par 10: Não equivalente