(a) Considere duas sequências de números reais não-negativos (an) e (bn) tais que lim n infty anbn=c para algum c>0.
Mostre que sum an converge se, e somente se, sum bn converge.
(b) Use o resultado anterior para estudar a convergência das séries sum 2 n+1(n+1)^2 e sum 12^n-1.

Passo 1

O enunciado do item (a) pede para mostrar o seguinte resultado de teste de comparação pelo limite em séries de termos não-negativos: dadas duas sequências ,(an) e ,(bn) com
limntoinftyanbn=c>0,
provar que
sumn=1^infty anconver>= Long<=ftrightarrow sumn=1^infty bnconver>=
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência e o critério de comparação para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Pela definição de limite, existe NinN tal que, para todo n>= N,
l|anbn-cr|<c2
Isso implica
c2<anbn<3c2,
ou seja, para n>= N:
an<3c2,bn e bn<2c,an

Passo 3

Como an>=0 e bn>=0, podemos aplicar o critério de comparação:
– Se sum bn converge, então como para n>= N temos an<= tfrac3c2bn, a soma a partir de N de an converge e, portanto, sum an converge.
– Se sum an converge, então para n>= N temos bn<= tfrac2can, daí sum bn converge pelo mesmo critério.
Logo mostramos a equivalência desejada.

Passo 4

Concluímos o item (a):
sum an;conver>=iffsum bn;conver>=
sempre que limntoinftyan/bn=c>0.

Passo 5

Agora o item (b). Primeiro, a série
sumn=1^infty 2n+1(n+1)^2
Compare com bn=tfrac1n. Note que
anbn =2n+1(n+1)^21n =n(2n+1)(n+1)^2 ;xrightarrow[ntoinfty];2
Como sum 1/n diverge (série harmônica), pelo item (a) a série sum2n+1(n+1)^2 também diverge.

Passo 6

Em seguida, a série
sumn=1^infty 12^n-1
Compare com bn=tfrac12^n. Calculamos
anbn =12^n-112^n =2^n2^n-1 ;xrightarrow[ntoinfty];1
Como sum 1/2^n é convergente (série geométrica de razão 1/2), pelo item (a) a série sum12^n-1 também converge.

Resposta

A série sum 2n+1(n+1)^2 diverge e a série sum 12^n-1 converge.

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