(a) Considere duas sequências de números reais não-negativos e tais que para algum .
Mostre que converge se, e somente se, converge.
(b) Use o resultado anterior para estudar a convergência das séries e .
Passo 1
O enunciado do item (a) pede para mostrar o seguinte resultado de teste de comparação pelo limite em séries de termos não-negativos: dadas duas sequências e com
provar que
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência e o critério de comparação para séries de termos não-negativos.
Passo 2
Pela definição de limite, existe tal que, para todo ,
Isso implica
c2<anbn<3c2,
ou seja, para n>= N:
an<3c2,bn e bn<2c,an
Passo 3
Como an>=0 e bn>=0, podemos aplicar o critério de comparação:
– Se sum bn converge, então como para n>= N temos an<= tfrac3c2bn, a soma a partir de N de an converge e, portanto, sum an converge.
– Se sum an converge, então para n>= N temos bn<= tfrac2can, daí sum bn converge pelo mesmo critério.