Seja f: R^2 R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas gamma(t)=(2, t, 2 t^2) e mu(t)=(2 t^2, t, 2 t^4) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado diz que f:R^2toR é diferenciável e que as curvas gamma(t)=(2,t,2t^2) e mu(t)=(2t^2,t,2t^4) estão no gráfico de f. Isso significa
f(2,t)=2t^2
e
f(2t^2,t)=2t^4
Vamos usar a regra da cadeia pra achar nabla f(2,1).

Passo 2

Da relação f(2,t)=2t^2 derivamos em t:
partial fpartial x(2,t)cdot 0 + partial fpartial y(2,t)cdot 1 = 4t
Logo,
partial fpartial y(2,t)=4t,
e em t=1 vem
partial fpartial y(2,1)=4

Passo 3

Da relação f(2t^2,t)=2t^4 a regra da cadeia dá
nabla f(2t^2,t)cdot (4t,1) = 8t^3
Em t=1 (ou seja no ponto (2,1)) isso é
4,partial fpartial x(2,1) + partial fpartial y(2,1) = 8
Como tfracpartial fpartial y(2,1)=4, fica 4,tfracpartial fpartial x(2,1)=4 e daí
partial fpartial x(2,1)=1

Resposta

nabla f(2,1)=(1,4)

Exercícios relacionados